- •1. Пределы и их свойства
- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определённый интеграл: , где – плотность вероятности случайной величины .
Если возможные значения принадлежат всей числовой оси , то
.
Все свойства математического ожидания дискретной случайной величины имеют силу и для непрерывной случайной величины.
Дисперсия
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:
.
Отсюда следует, что если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то дисперсия . С учётом того, что для вычисления дисперсии справедлива формула , то .
Если возможные значения принадлежат всей оси , то или .
Среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и дискретной случайной величины: .
Пример 2. Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Требуется:
-
убедиться, что заданная функция является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства .
В случае положительного ответа найдите:
-
дифференциальную функцию ;
-
математическое ожидание случайной величины; дисперсию случайной величины (двумя способами) и среднее квадратическое отклонение; постройте графики интегральной и дифференциальной функций;
-
вероятность попадания величины в интервал () двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрируйте этот результат на графиках и .
, .
Решение:
1) Если функция является функцией распределения и если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то , если , , если . Проверим это. По условию , тогда . Таким образом, заданная функция является функцией распределения;
2) Дифференциальной функцией распределения называется производная от интегральной функции: .
Следовательно, получаем:
.
3) Для вычисления числовых характеристик случайной величины воспользуемся формулами:
– , где – плотность вероятности случайной величины и если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку ;
–, если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку ;
–.
Вычисляем: ;
; ;
4) Вычислим вероятность попадания величины в интервал (), используя интегральную функцию : вероятности попадания случайной величины в интервал вычислим по формуле . В данном случае , следовательно ; дифференциальную функцию : .
В данном случае , т.к. , если .
6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой:
,
где – математическое ожидание,
– среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
Закон Гаусса имеет большое значение для практического применения по следующим причинам:
-
На практике многие случайные величины оказываются либо нормально распределёнными, либо с распределениями, близкими к нормальному.
-
Случайную величину, не распределённую нормально, часто можно преобразовать таким образом, чтобы она имела распределение, близкое к нормальному.
-
Нормальное распределение может служить аппроксимацией для других распределений, например, для биноминального распределения.
-
При проверке статистических гипотез часто возникают распределения, которые оказываются нормальными.
Вычисление вероятности при нормальном распределении
случайной величины
1. Вероятность попадания в интервал определяется формулой:
;
2. Вероятность попадания в интервал находим по формуле:
, или ;
3. Вероятность попадания в интервал находим по формуле:
или ;
4. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа равна , где – функция Лапласа, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.
Пример 3. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием . Вероятность попадания в интервал равна 0,2. Чему равна вероятность попадания в интервал (35;40)?
Решение:
1) По известной вероятности попадания в заданный интервал найдем среднее квадратическое отклонение . Для этого воспользуемся формулой . Согласно условию , , т.е.
или , или
, или .
По таблице значений функции находим, что , если , следовательно, .
-
Вероятность попадания в интервал (35;40) найдем, используя ту же формулу, тогда
По таблице значений функции находим, что , а вероятность .
Упражнения:
Задание 1 .Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1< x2 . Известны вероятность р1 возможного значения x1 , математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.
-
Номер задачи
р1
М(Х)
D(X)
1
0,1
3,9
0,09
2
0,3
3,7
0,21
3
0,5
3,5
0,25
Задание 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины . Найти: а) неизвестную вероятность; б) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ; в) составить функцию распределения случайной величины и построить ее график; г) вычислить вероятности попадания случайной величины в интервал , пользуясь составленной функцией распределения .
1)
-
10
12
20
25
30
0,1
0,1
0,2
0,4
2)
-
10
12
14
16
18
0,2
0,3
0,1
0,2
3)
-
30
40
50
60
70
0,2
0,2
0,3
0,1
4)
-
2
4
6
8
10
0,2
0,3
0,1
0,2
Задание 3. Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Требуется убедиться, что заданная функция является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства . В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание случайной величины; c) дисперсию случайной величины и среднее квадратическое отклонение; d) построить графики интегральной и дифференциальной f(x) функций.
1) 2)
3) 4)
Задание 4.
1) Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .
2) В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 50, среднеквадратическое отклонение равно 4. Чему равно , если вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше , равна 0.28.
3) Автомат штампует детали. Контролируется длина детали , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а)больше 55 мм; б) меньше 40 мм.