- •1. Пределы и их свойства
- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
3. Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует . Тогда на промежутке Х функция также имеет первообразную и справедлива формула
(1)
Так как то формулу (1) можно записать в виде
Вычислить интегралы:
Проверка:
Проверка:
Проверка:
3.2. Определенный интеграл
Определение определенного интеграла.
Пусть функция определена на отрезке [a, b], a<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b. В каждом из полученных частичных отрезков [xi-1, xi] выберем произвольную точку и составим сумму
(1)
где Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функции f(x) на [a, b].
Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: .
Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.
Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на отрезке [a, b].
Основные свойства определенного интеграла.
-
По определению,
-
По определению,
-
Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство
-
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.
-
Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
-
Формулы площадей плоских фигур.
a) Пусть на плоскости Оxy дана фигура, ограниченная отрезком [a, b] оси Ox, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a, b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией, площадь S которой может быть вычислена по формуле
(1)
Пример:
1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Рис. 1.
Можно считать, что эта фигура ограничена осью Ох, прямыми х=-1, х=1 и графиком функции (рис.1), поэтому по формуле (1), ее площадь
2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Рис. 2.
Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми х=0 и х=3 графиком функции, которая на отрезке [0, 1] равна х, а на отрезке [1, 3] равна Разобьем данную криволинейную трапецию прямой х=1 на две части (рис. 2). Площади этих частей находятся по формуле (1):
Площадь искомой криволинейной трапеции находим согласно свойству аддитивности площади,
b) Пусть на отрезке [a, b] заданы две непрерывные функции причем при всех значениях х из этого отрезка . Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так:
(2)
Пример:
1) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 3).
Решение:
Рис. 3.
Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Найдем их. Для этого решим систему уравнений
В результате получаем Искомую площадь находим с помощью формулы (2):
2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Рис. 4.
Данная фигура заключена между графиками функций , прямыми х=0, х=1 (рис. 4). Поэтому ее площадь находим с помощью формулы (2):