- •Математика
- •Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине « Математика» для студентов
- •Курса очной формы обучения. ( 1 семестр )
- •Тема 1. Линейная алгебра.
- •1). Решить систему методом Крамера :
- •2). Решить систему методом Гаусса :
- •Тема 2.Элементы аналитической геометрии.
- •Тема3. Введение в анализ функции одной переменной.
- •Тема4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •1). Найти производную функции:
- •1). Найти производную функции:
- •1). Найти производную функции:
- •Формы контроля знаний студентов по дисциплине « Математика»
- •Теоретические вопросы к зачёту по дисциплине« Математика» для студентов
- •1 Курса очной формы обучения. ( 2 семестр )
- •Тема 5. Комплексные числа
- •Тема 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Тема 7. Интегральное исчисление.
- •1. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •3). Интегрирование рациональных функций
- •5). Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •4. Определенный интеграл.
- •1.Вычисление площадей плоских фигур.
- •2.Вычисление объёмов тел вращения.
- •1. Задания по линейной алгебре
- •2. Задания по аналитической геометрии
- •3. Задания по математическому анализу (1) Вопросы для самопроверки
- •2. Задания по математическому анализу
- •Содержание.
Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине « Математика» для студентов
-
Курса очной формы обучения. ( 1 семестр )
-
Монотонность функции. Исследование функции на монотонность.
-
Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.
-
Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
-
Формула Тейлора
-
Вектора и действия над ними.
-
Действия над векторами заданными в базисе.
-
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
-
Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.
-
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
-
Общее уравнение прямой и его исследование.
-
Угол между прямыми.
-
Общее уравнение плоскости.
-
Матрица. Действие над матрицами.
-
Определитель. Свойства определителей.
-
Теорема Крамера.
-
Метод Гаусса. Метод Жордано-Гаусса. Сходство и различие.
-
Понятие функции и её предела.
-
Теоремы о пределах.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.
-
Первый замечательный предел.
-
Непрерывные функции и действия над ними.
-
Асимптоты графика функции.
-
Свойства непрерывных функций.
-
Механический смысл производной.
-
Геометрический смысл производной.
-
Экономический смысл производной.
-
Дифференциал функции, геометрический смысл и применение дифференциала.
-
Теорема Ферма.
-
Теорема Ролля.
-
Теорема Лагранжа
Материалы к самостоятельным и контрольным работам по математике выполняемыми студентами первого курса всех специальностей в первом-втором семестрах. Каждая работа включает 30 вариантов. Все варианты работ примерно равноценны по сложности.
Самостоятельные работы рассчитаны на 45 мин., а контрольная работа – на 1,5 часа.В структуру самостоятельных и контрольных работ включены следующие темы, изучаемые в первом семестре учебного года:
-
Элементы линейной алгебры Т-1-С
-
Элементы аналитической геометрии Т-2-С
-
Введение в анализ функции одной переменной Т-3-С
-
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Т-4-К
Тема 1. Линейная алгебра.
Опр. Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица А=
Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.
Определителем квадратной матрицы называется число получаемое по определенному правилу.
; ;
А=, М=- минор элемента , А= (-1)- алгебраическое дополнение элемента
Опр. Матрица Аявляется обратной к матрице А, если А× А= А×А=Е, где Е – единичная матрица.
Матрицы являются транспонированными, если в них поменять местами строки и столбцы.
Алгоритм поиска обратной матрицы А:
1. Вычислить ∆, если ∆=0, то обратной матрицы нет.
2. Найти транспонированную А
3. Составить присоединенную матрицу Аиз алгебраических дополнений элементов матрицы А .
4. Составить обратную матрицу Апо формуле: А=
Пример: найти обратную матрицу А, если А=
1. ∆=
2. А=
3.
А= 4. А=
Вычисление определителей.
1. Приведением к треугольному ( диагональному ) виду: определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
2. Формула Лапласа: определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
3. Метод Крамера.
х1+2х2+х3= 1
2х1+3х2+2х3= 2
х1-х2+3х3= 0
∆
∆х
∆х
∆х
(1.5;0;-0.5)
4. Метод Гаусса.
х1+2х2+х3= 1
2х1+3х2+2х3= 2
х1-х2+3х3= 0
Расширенная матрица этой системы имеет вид:
х1+2х2+х3= 1
-х2= 0 х2=0, х3= - 0.5, х1=-20 - (-0.5) + 1=1.5
2х3= -1
Т-1 С-1-1
2 0 5
1). Найти А-1 , если А = 1 3 16
1 -1 10
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 2 3
∆4 = 1 1 -2 -2
3 1 2 4
0 6 -1 5
Т-1 С-1-2
2 3 1
1). Найти А-1 , если А = 0 4 -2
1 3 -1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
0 0 1 4
∆4 = 1 -1 0 3
-1 2 -1 1
0 1 0 4
Т-1 С-1-3
0 2 3
1). Найти А-1 , если А = 2 3 4
3 4 5
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
2 3 -1 4
∆4 = 3 -1 2 4
1 1 3 -2
-1 2 3 0
Т-1 С-1-4
1 2 8
1). Найти А-1 , если А = 3 2 10
4 3 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 2 3 4
∆4 = -1 3 0 2
2 1 3 5
3 -4 1 0
Т-1 С-1-5
3 2 2
1). Найти А-1 , если А = 1 -5 -8
4 2 1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 5 -1
∆4 = 2 3 0 1
-1 2 4 0
3 1 -5 2
Т-1 С-1-6
7 -3 5
1). Найти А-1 , если А = 5 2 1
2 -1 3
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
2 -1 0 1
∆4 = 3 5 -1 1
2 0 3 5
6 4 3 -1
Т-1 С-1-7
3 2 1
1). Найти А-1 , если А = 2 3 1
2 1 3
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 3 4 1
∆4 = -1 2 0 5
5 -7 -10 4
5 -2 -6 0
Т-1 С-1-8
1 -2 3
1). Найти А-1 , если А = 2 3 -4
1 -2 -5
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
3 -2 1 1
∆4 = 2 0 3 1
1 0 2 -2
1 1 3 2
Т-1 С-1-9
4 -3 2
1). Найти А-1 , если А = 2 5 -3
5 6 -2
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
3 -1 4 2
∆4 = 5 2 0 1
0 2 1 -3
6 -2 9 8
Т-1 С-1-10
1 1 2
1). Найти А-1 , если А = 2 -1 2
4 1 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
2 -1 1 0
∆4 = 0 1 2 -1
3 -1 2 3
3 1 6 1
Т-1 С-1-11
2 -1 -1
1). Найти А-1 , если А = 3 4 -2
3 -2 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
2 3 -3 4
∆4 = 2 1 -1 2
6 2 1 0
2 3 0 5
Т-1 С-1-12
3 4 2
1). Найти А-1 , если А = 2 -1 -3
1 5 1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 1 2
∆4 = 2 -1 3 -8
1 2 10 0.5
3 1 2 0
Т-1 С-1-13
1 1 -1
1). Найти А-1 , если А = 0 3 -2
3 4 1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 1 2
∆4 = 2 -1 3 -8
1 2 10 4
3 1 2 0
Т-1 С-1-14
1 -1 1
1). Найти А-1 , если А = 2 1 -1
3 -1 2
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 0 2
∆4 = 2 -1 3 -8
1 2 10 -4
3 1 2 0
Т-1 С-1-15
1 -1 1
1). Найти А-1 , если А = 2 1 -1
0 -1 2
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 0 2
∆4 = 2 -1 3 -8
1 2 10 -4
2 3 2 0
Т-1 С-1-16
1 1 1
1). Найти А-1 , если А = 2 2 -1
3 0 2
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 0 2
∆4 = 2 -2 3 -8
1 2 0 -4
2 1 2 0
Т-1 С-1-17
- 2 -1 -1
1). Найти А-1 , если А = 3 4 -2
3 -2 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 3 -3 4
∆4 = 2 1 -1 2
3 2 0 0
2 3 0 1
Т-1 С-1-18
- 2 -1 -1
1). Найти А-1 , если А = 0 4 -2
3 1 - 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 3 5 4
∆4 = 2 1 -1 2
3 2 0 3
2 3 0 5
Т-1 С-1-19
1 -2 -3
1). Найти А-1 , если А = 0 2 -2
3 2 - 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 3 3 0
∆4 = 2 1 -1 0
3 2 1 3
1 3 0 1
Т-1 С-1-20
- 1 -1 -1
1). Найти А-1 , если А = 2 4 0
3 - 1 - 2
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 1 4
∆4 = 2 1 -1 2
3 2 0 3
4 3 0 5
Т-1 С-1-21
2 1 5
1). Найти А-1 , если А = 1 3 12
1 0 10
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 2 3
∆4 = 1 1 -2 1
3 1 2 4
0 0 -1 5
Т-1 С-1-22
2 3 1
1). Найти А-1 , если А = 0 1 -2
1 4 -1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
0 0 1 4
∆4 = 1 -1 0 3
-1 0 -1 1
2 3 0 4
Т-1 С-1-23
0 2 1
1). Найти А-1 , если А = 2 3 - 4
3 0 5
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
2 3 -1 4
∆4 = 3 -1 2 1
1 0 0 -2
-1 2 1 0
Т-1 С-1-24
1 2 6
1). Найти А-1 , если А = 3 2 - 1
4 3 0
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 2 3 3
∆4 = -1 3 0 2
2 1 3 1
0 -4 1 0
Т-1 С-1-25
3 -2 2
1). Найти А-1 , если А = 1 1 0
4 2 -1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 0 3 -1
∆4 = 2 3 0 1
-1 2 - 4 0
1 1 -5 2
Т-1 С-1-26
9 -2 -4
1). Найти А-1 , если А = 1 2 -1
-12 1 7
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
3 -1 0 1
∆4 = 3 4 -1 1
2 0 3 5
2 0 3 -1
Т-1 С-1-27
3 2 2
1). Найти А-1 , если А 1 3 1
5 3 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 3 4 1
∆4 = -1 2 0 5
5 2 -1 4
5 0 -3 0
Т-1 С-1-28
1 -2 3
1). Найти А-1 , если А = 2 1 -4
1 2 0
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
1 -2 1 -1
∆4 = 2 0 3 1
1 0 2 -2
1 1 3 1
Т-1 С-1-29
4 -3 2
1). Найти А-1 , если А = 2 1 0
3 2 1
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
3 -1 4 2
∆4 = 5 2 0 1
0 0 1 -3
-2 -2 9 1
Т-1 С-1-30
1 1 -2
1). Найти А-1 , если А = 2 -1 0
3 1 4
2). Вычислить определитель по формуле Лапласа и приведением к треугольному виду :
2 -1 1 0
∆4 = 0 1 2 -1
3 -1 0 0
4 1 4 1
Т-1 С-2-1
1). Решить систему методом Крамера :
3х1+2х2+х3= 5
2х1+3х2+х3= 1
2х1+х2+3х3= 11
2). Решить систему методом Гаусса :
х1 +2х3-х4= 2
-х2 +х4= -2
-х1 -х3 = 1
-х2+2х3 = 0
Т-1 С-2-2
1). Решить систему методом Крамера :
х1-2х2+3х3=6
2х1+3х2-4х3=20
3х1-2х2-5х3=6
2). Решить систему методом Гаусса :
х1-2х3=2
-х2+2х3+х4=0
-х1+2х2+3х4=4
х2+4х4=6
Т-1 С-2-3
1). Решить систему методом Крамера :
4х1-3х2+2х3= 9
2х1+5х2-3х3= 4
5х1+6х2-2х3= 18
2). Решить систему методом Гаусса :
х3+4х4= 1
х1-х2+3х4= -2
-х1+2х2-х3+х4= 0
х2+4х4= -1
Т-1 C-2-4
1). Решить систему методом Крамера :
х1+х2+2х3= -1
2х1-х2+2х3 = -4
4х1+х2+4х3 = -2
2). Решить систему методом Гаусса :
х1-2х3+4х4 = 1
-х2+2х3+х4 = -2
-х1-х3+3х4 = 0
-х2-х3+8х4 = -1
Т-1 С-2-5
1). Решить систему методом Крамера
2х1-х2-х3 = 4
3х1+4х2-2х3= 11
3х1-2х2+4х3 = 11
2). Решить систему методом Гаусса :
-2х1+х2-х3+х4 = 2
2х2+х3+х4 = 1
х1+х3-2х4 = -2
2х1+2х3-х4 = 1
Т- 1 С-2-6
1). Решить систему методом Крамера :
3х1+4х2+2х3=8
2х1-х2-3х3 = -1
х1+5х2+х3= 0
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+х2-х3+х4 =2
х1+х3+х4 = 1
-х1+2х2-х3 = -2
4х2-х4 = 1
Т-1 С-2-7
1). Решить систему методом Крамера :
х1+х2-х3 = 1
8х1+3х2-6х3 = 2
4х1+х2-3х3 = 3
2). Решить систему методом Гаусса :
2х1+3х2-х3+х4 = -2
3х1-х2+2х3+4х4 = 12
х1+х2+3х3-2х4 = 4
-х1+2х2+2х3 = 3
Т-1 С-1-8
1). Решить систему методом Крамера :
х1+3х2-6х3 = -12
3х1+2х2+5х3 = -10
2х1+5х2-3х3 = 6
2). Решить систему методом Гаусса :
3х1-2х2+3х3-3х4 = 0
3х1-2х2-х3+х4 = 0
3х1-2х2-х3+х4 = 0
х1+2х2-х4 = 0
Т-1 С-2-9
1). Решить систему методом Крамера :
х1+2х2+х3 = 8
3х1+2х2+х3 = 10
4х1+3х2-2х3= 4
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+2х2-х4 = 0
2х1+х3-3х4 = 1
х1-2х2-2х3-3х4 = 0
4х1+4х2+х3-5х4 = 1
Т-1 С-2-10
1). Решить систему методом Крамера :
5х1-х2-х3 = 0
х1+2х2+3х3 = 14
4х1+3х2+2х3 = 16
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+х2-х3+х4 =2
2х1-х2+3х3-2х4=1
х1-х3+2х4 = 6
3х1-х2+х3-х4 = 0
Т-1 С-2-11
1). Решить систему методом Крамера :
2х1+х2-х3 = 5
х1-2х2+3х3= -3
7х1+х2-х3 = 10
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+2х2+х3 = 8
х2+3х3+х4 = 15
4х1+х3+х4 = 11
х1+х2+5х4 = 23
Т-1 С-2-12
1). Решить систему методом Крамера :
х1-4х2-2х3 = -3
3х1+х2+х3 = 5
3х1-5х2-6х3 = -7
2). Решить систему методом Гаусса :
-х1+х2+х3-х4 = -2
х1+2х2-2х3-х4 = -5
2х1-х2-3х3+2х4 = -1
х1+2х2+3х3-6х4 = -10
Т-1 С-2-13
1). Решить систему методом Крамера :
3х1+х2-х3= 1
-х1+3х2+2х3= 0
х1+4х2+х3= 3
2). Решить систему методом Гаусса :
х1 -2х3+4х4= 2
-х2 + 2х3 +х4= -2
-х1 +2х2 -х3 +3х4 = 4
-х2-х3 = 4
Т-1 С-2-14
1). Решить систему методом Крамера :
х1-2х3=1
3х1+2х2+х3=2
4х1-х2+5х3=0
2). Решить систему методом Гаусса :
х1-2х3+х4=1
-х2+2х3+х4= -2
-х1+2х2+х3-2х4= 4
х2- х3=3
Т-1 С-2-15
1). Решить систему методом Крамера :
х1+2х2-2х3= 1
-х1+х2+х3= -2
х1-х2-х3= -4
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+2х4= 1
-х2+2х3+х4= -2
-х1+2х2+3х4= 0
х2+2х3+2х4= -1
Т-1 C-2-16
1). Решить систему методом Крамера :
-2х1+х3= 0
х1+х2+х3 = 2
х1-х2-2х3 = -4
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+х2-2х3 = 2
-х2+2х3+х4 = -2
-х1+х2-х4 = 3
-х2+х3 = 3
Т-1 С-2-17
1). Решить систему методом Крамера
- 2х1-х3 = 6
4х1+х2+х3= -2
4х2-х3 = 4
2). Решить систему методом Гаусса :
х1 +х2-2х3+4х4= 2
-х2 + 2х3 +х4= -2
-х1 +2х2 -х3 +3х4 = 4
-х2-х3 = 4
Т- 1 С-2-18
1). Решить систему методом Крамера :
х1+2х3=1
-х1+х2+х3 = 4
х1-х2-х3= -8
2). Решить систему методом Гаусса :
х1 -2х3+х4= 1
-х2 + 2х3 +х4= -2
-х1 +2х2 -х3 -2х4 = 4
х2-х3 = 0
Т-1 С-2-19
1). Решить систему методом Крамера :
-2х1+х2 = 1
х1+х3 = 0
х1-х2-4х3 = -4
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+2х4 = 1
-х2+2х3+х4 = -2
- х1+2х2+3х4 = 0
х2+2х3+2х4 = -1
Т-1 С-1-20
1). Решить систему методом Крамера :
- х1+2х2-2х3 = 1
х2+х3 = 12
х1+х2-х3 = 8
2). Решить систему методом Гаусса :
х1+х2-2х3= 2
-х2+2х3+х4 = -2
-х1+х2-х4 = 3
-х2 +х3= 3
Т-1 С-2-21