- •Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •3.1. Определение функции нескольких переменных
- •3.2. Предел функции нескольких переменных
- •3.3. Бесконечно малые функции нескольких переменных
- •3.4. Свойства пределов
- •3.5. Непрерывность функций нескольких переменных. Точки и линии разрыва
- •Свойства непрерывных функций
- •3.6. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных
- •3.9. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных
- •3.10. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •3.10. 1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений
- •3.11. Частные производные высших порядков
- •3.12. Дифференциалы высших порядков
- •3.13. Частные производные сложной функции нескольких переменных
- •3.14. Производная функции, заданной неявно
- •3.15. Производная функции по направлению
- •3.16. Градиент функции, его свойства
- •3.17. Формула Тейлора для функций двух переменных
- •3.18. Локальный экстремум функции нескольких переменных
- •3.19. Необходимый признак локального экстремума
- •3.20. Достаточный признак локального экстремума функции двух переменных
- •3.21. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •3.22. Условный экстремум функции нескольких переменных
- •3.22.1. Постановка задачи
- •3.22.2. Нахождение критических точек
- •3.22.3. Метод множителей Лагранжа
- •3.22.4. Достаточный признак условного экстремума функции двух переменных
- •3.23. Абсолютный экстремум функций нескольких переменных
- •Вопросы к экзамену Введение в математический анализ
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Шершнев Владимир Григорьевич математический анализ
- •Часть I. Дифференциальное исчисление
- •117997, Москва, Стремянный пер. 36.
3.15. Производная функции по направлению
Пусть функция непрерывная и дифференцируемая, вектор задает направление. Пусть имеется точка и в направлении от нее точка (рис. 48).
Рис. 48
Вектор имеет координаты , , , т. е. .
Модуль вектора , , , .
Косинусы cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора . Если вектор единичный , то и его координатами являются направляющие косинусы, т. е. .
Производной функции по направлению вектора в точке называется предел отношения приращения функции в этом направлении к приращению длины (модуля) вектора , при стремящемся к нулю , т. е.
.
Находим
.
Таким образом, получена формула дифференцирования функции по направлению вектора
.
Пример 3.21. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора .
Находим , .
.
.
3.16. Градиент функции, его свойства
Градиентом функции называется вектор
,
где единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат.
Кратко можно записать . Здесь знак набла.
Пример 3.22. Найти градиент функции в точке .
.
.
Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е.
.
Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется
.
Здесь угол между векторами и , скалярное произведение векторов, единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .
Найдем
.
Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции.
Действительно, производную данной функции по направлению вектора можно записать следующим образом , где угол между градиентом и вектором . Если этот угол равен нулю = 0 , то косинус этого угла и производная функции принимают наибольшие значения, cos0 = 1, .
Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции.
Действительно, .
Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется.
Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости
.
Пример 3.23. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду
в точке .
Находим ,, ; , , .
Записываем уравнение касательной плоскости
.