5. 2.6. Додавання та множення у позиційних системах числення

   1. Додавання

Додавання одноцифрових десяткових чисел у школі вивчають за допомогою таблиць, у яких зображено результати додавання чисел від 1 до 9, наприклад, 7+8 = 15, 9+1 = 10, 9+9 = 18. Аналогічні таблиці додавання неважко скласти для будь-якої системи числення.

Приклад 2.5.1. Для вісімкової системи з цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 та 7 таблиця додавання має такий вигляд.

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Таблиця демонструє переставний закон додавання — заповнивши рядок таблиці, можна відразу отримати відповідну колонку.

Якщо сума чисел більше 7, утворюється двоцифрова сума, тобто з’являється перенос 1 до старшого розряду. Так само в десятковій системі перенос з’являється, якщо сума більше 9.

У системах з основою більше 10 потрібні цифри A, B, C тощо. Наприклад, два останні рядки таблиці додавання однорозрядних чисел з основою 16 мають такий вигляд.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	C	D	E	F
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1B	1C	1D	1E

• При додаванні одноцифрових чисел A та B у будь-якій P-ковій системі значенням цифри є остача від ділення (A+B) на P, переносом до старшого розряду — частка від ділення (A+B) на P. Якщо A+B < P, перенос дорівнює 0 («переносу немає»), а якщо A+B  P, він дорівнює 1.

Наведене правило дає основу для алгоритму додавання чисел у стовпчик у довільній P-ковій системі.

Починаючи від молодшого розряду, цифри та перенос від попереднього розряду додаються, у розряді залишається остача від ділення суми на P, а частка є переносом до наступного розряду. Початковий перенос у молодший розряд дорівнює 0.

Приклад. Додамо числа в сімковому запису; у дужках нагорі запишемо переноси.

Аналогічно додамо числа в двійковому запису, де 0+0 = 0, 1+0 = 0+1 = 1, 1+1 = 10.

Так само додамо числа в шістнадцятковому запису.