- •Кинематика и динамика поступательного и вращательного движения
- •1.Механика материальной точки
- •1.1.Скаляры и векторы
- •1.2. Кинематика материальной точки
- •1.3. Динамика поступательного движения
- •1.3.1. Сила. Масса. Импульс
- •1.3.2. Основные законы классической динамики
- •1.3.3. Гравитационное взаимодействие
- •1.3.4. Сила тяжести. Вес
- •1.3.5.Сила трения скольжения
- •2. Механика абсолютно твердого тела
- •2.1. Кинематика вращательного тела
- •2.1.1. Абсолютно твердое тело
- •2.1.2. Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси и его кинематические характеристики
- •2.1.3. Равнопеременное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •2.2. Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •2.2.1. Момент силы
- •2.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •2.2.3. Момент импульса материальной точки. Момент импульса твердого тела
- •2.2.4. Основной закон динамики вращательного движения
- •3. Примеры решения задач
- •4. Задачи для аудиторных занятий
- •4.1. Кинематика поступательного и вращательного движений
- •4.2. Динамика поступательного и вращательного движений
- •5. Задачи для самостоятельного решения.
- •5.1 Кинематика поступательного движения (№ задачи, как правило, совпадает с номером по списку в журнале группы).
- •5.2. Кинематика поступательного и вращательного движений.
- •5.3. Кинематика вращательного движения.
- •5.4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
- •5.5. Движение связанных тел.
- •5.6. Динамика вращательного движения.
- •5.7. Динамика вращательного движения.
- •6. Таблица вариантов задач
- •1.Механика материальной точки...…………………………………………………3
- •1.1.Скаляры и векторы…………………………..………………………….……….3
2.1.3. Равнопеременное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Если угловое ускорение при вращении твердого тела остается постоянным (), то законы изменения кинематических характеристик имеют вид:
(2.8)
Число оборотов, которое тело делает за одну секунду, называется частотой вращения . Это величина, обратная периоду обращения , т.е. времени одного полного оборота.
(2.9)
Если тело сделает оборотов, то
(2.10)
2.2. Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Основными характеристиками вращательного движения тела являются: момент силы, момент инерции и момент импульса.
2.2.1. Момент силы
Рассмотрим твердое тело произвольной формы, которое может вращаться вокруг закрепленной оси. Пусть на тело действует произвольно направленная сила . Выберем в твердом теле какую-нибудь точку - центр вращения, например, лежащую на оси вращения (рис. 2.2).
] [
d
О
] [
Рис. 2.2
Проведем из нее радиус – вектор в точку приложения силы. Величина определяемая соотношением
, (2.11)
называется моментом силы относительно точки О. Модуль вектора определяется по формуле
, (2.12)
где - угол между векторами и , - длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы. Эта величина называется плечом силы.
В случае, когда твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, вращающее действие силы будет характеризоваться величиной, называемой моментом силы относительно этой оси.
Пусть на твердое тело действует произвольно направленная сила , приложенная к телу в точке С (рис. 2.3). Если ось вращения закреплена, то вращающее действие будет оказывать только та составляющая силы , которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т.е. сила (рис. 2.3).
Из точки пересечения указанной плоскости с осью вращения (точки О) проводим радиус-вектор в точку приложения силы .
Векторное произведение
(2.13)
будем называть моментом силы относительно оси Z.
Рис. 2.3
Этот вектор всегда направлен по оси вращения и связан с направлением вращения, вызванного силой , правилом правого винта.
Модуль момента силы относительно оси Z:
Mz = r∙F∙sin α = F∙d. (2.14)
2.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
Момент инерции при вращательном движении имеет тот же смысл, что и масса при поступательном движении. Момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении.
Момент инерции твердого тела зависит от размеров тела, его формы, от распределения плотности материала тела по его объему и от положения оси вращения.
Любое твердое тело представляет собой совокупность материальных точек массой , находящихся на расстоянии от оси вращения. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения:
(2.15)
Эта формула приближенная. Точной является формула
. (2.16)
Пользуясь формулой (2.16), можно найти момент инерции однородного тела правильной геометрической формы массой относительно оси, проходящей через центр масс тела :
для стержня длиной (ось перпендикулярна стержню)
; (2.17)
для шара радиуса ; (2.18)
для диска радиуса (ось перпендикулярна диску)
. (2.19)
Если ось вращения не проходит через центр масс, то момент инерции относительно этой оси определяется по теореме Штейнера:
. (2.20)
Здесь - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно данной оси , - расстояние между осями.