§ 5. Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – это поверхность, заданная каноническим уравнением

. (1)

Эллиптический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей и , а относительно плоскости симметрии не имеет. Если его пересечь плоскостью , то увидим, что при плоскость не пересекается с эллиптическим параболоидом, при в сечении получается единственная точка – начало координат, которая называется вершиной эллиптического параболоида (1), а при линией пересечения является эллипс с полуосями . Таким образом, и эллиптический параболоид состоит из расширяющихся эллипсов.

Пересечём теперь эту поверхность плоскостью . В сечении получаем кривую, проекция которой на плоскость задается уравнением

,

которое после преобразований принимает вид:

. (2) Из (2) видно, что плоскости, параллельные плоскости , пересекают поверхность эллиптического параболоида по параболам, имеющим одинаковые фокальные параметры (т.е., по конгруэнтным параболам), ветви которых направлены в сторону положительного направления оси , причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 4.9 изображены проекции этих парабол на плоскость . Такую же картинку имеем и при пересечении плоскостями . Уравнения проекций линий пересечения на плоскость :

,

П

Рис. 3

роекции на плоскость изображены на рис. 4.10, сам же эллиптический параболоид – на рис. 4.11. При эллиптический параболоид называется параболоидом вращения.

§ 6. Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом мы назвали поверхность, каноническое уравнение которой выглядит так:

.

Гиперболический параболоид, так же, как и эллиптический, симметричен относительно координатных плоскостей и , а относительно плоскости не имеет симметрии.

Пересечём эту поверхность плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:

.

Из него мы видим, что плоскости, параллельные плоскости , пересекают поверхность гиперболического параболоида по параболам, имеющим одинаковые фокальные параметры (т.е., по конгруэнтным параболам), их ветви направлены в сторону отрицательного направления оси , причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 4.12 изображены проекции этих парабол на плоскость . Если же пересечь гиперболический параболоид плоскостями , то в сечениях получаем кривые

,

т .е. опять конгруэнтные параболы, но их ветви направлены в сторону положительного направления оси , а с ростом вершина параболы смещается вниз. При проектировании их на плоскость получаем картинку, изображённую на рис. 4.13.

Теперь пересечём гиперболический параболоид плоскостью . В сечении получается кривая, заданная уравнением

. (1)

При это уравнение задаёт пару пересекающихся прямых

. (2)

Е сли , то плоскость пересекает гиперболический параболоид по гиперболам

,

а симптотами которых являются прямые (2), действительной осью – ось , причём с ростом вершины этих гипербол удаляются от центра (от оси ). Если же , то уравнение (1) задаёт гиперболы

с теми же самыми асимптотами, но с осью в качестве действительной. Проекции линий пересечения гиперболического параболоида плоскостями на плоскость изображены на рис. 4.14, а сам гиперболический параболоид – на рис. 4.15. Эта поверхность напоминает седло, часто её так и называют.