- •Глава 2. Прямые и плоскости
- •§ 1 Уравнения множества точек
- •§2 Основные виды уравнений плоскости Общее уравнение плоскости
- •Параметрические уравнения плоскости.
- •§ 3. Основные виды уравнений прямой в пространстве
- •§ 4. Основные виды уравнений прямой на плоскости Параметрические и каноническое уравнения
- •Общее уравнение прямой на плоскости
- •§ 5. Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямых на плоскоси
- •§6. Пучок плоскостей. Пучок прямых на плоскости
- •§7 Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Глава 2. Прямые и плоскости
§ 1 Уравнения множества точек
В этой главе будем считать, что на плоскости или в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.
Определение. Уравнение
(1)
называется уравнением множества Φ точек плоскости, если координаты каждой точки удовлетворяют уравнению (1) и обратно, если каждая точка плоскости, координаты которой удовлетворяют (1), принадлежит Ф.
Например, уравнение является уравнением окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Уравнение
задает ту же окружность, так как ему удовлетворяют все ее точки и только они. А вот уравнение не будет уравнением этой окружности, т.к. ему удовлетворяют ещё и другие точки, например, . Уравнение также не является уравнением рассматриваемой окружности, т.к. на ней есть точки (например, ), которые этому уравнению не удовлетворяют.
Аналогично определяется уравнение пространственного множества точек.
Определения. Уравнение (или ) называется векторным уравнением множества Ф, если радиус-вектор каждой точки удовлетворяет этому уравнению и обратно, если каждая точка, чей радиус-вектор удовлетворяет уравнению, принадлежит Ф.
Уравнение называется векторным параметрическим уравнением множества Ф, если : и обратно, если такое, что .
Уравнения
,
называются параметрическими уравнениями множества Ф, если точка и обратно, если такое, что , , .
Вывод. Для того чтобы составить уравнения какого-то множества точек, следует придумать условие, которому удовлетворяют все точки этого множества и только они, и записать это условие в векторном виде, либо в координатах.
§2 Основные виды уравнений плоскости Общее уравнение плоскости
Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Если в пространстве заданы ненулевой вектор и точка , то в пространстве существует единственная плоскость P, проходящая через перпендикулярно вектору . Составим ее уравнение (см. рис.2.1).
. На основании критерия перпендику-
Рис.2.1. лярности получаем уравнения плоскости:
, (1')
,
(1)
(здесь ).
У
O
Запишем теперь эти уравнения в координатах. Пусть , , . Так как вектор ненулевой, то
. (2)
Из (1') получаем:
. (3)
Если обозначить , то уравнение (3) примет вид:
. (4)
Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости. Следует помнить, что в общем уравнении плоскости коэффициенты при неизвестных – это координаты нормального вектора.
Определение. Уравнение (4) с условием (2) называется уравнением первой степени.
Теорема. Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то всякая плоскость может быть задана уравнением первой степени. Обратно: всякое уравнение первой степени в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве задает плоскость.
►Первое утверждение уже доказано. Докажем обратное. Пусть задано уравнение (4) с условием (2) и пусть, например, . По заданному уравнению (4) выберем вектор , точку , и составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору , используя (3):
.
Полученное уравнение, очевидно, совпадает с уравнением (4). Таким образом, плоскость Р и есть искомая.◄