- •Глава 3. Линии второго порядка § 1. Гипербола
- •Вывод канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
- •§ 2. Эллипс
- •Вывод канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению
- •Параметрические уравнения эллипса
- •§ 3. Парабола
- •Вывод канонического уравнения
- •§ 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы
- •§ 5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы Полярная система координат
- •Вывод полярных уравнений
- •§ 6. Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе
- •§ 7. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 8. Линии второго порядка
§ 2. Эллипс
Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2c. Пусть, кроме того, задано число a, большее c. Эллипсом называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1 и F2, называемых фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2а.
Вывод канонического уравнения
Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на плоскости следующую прямоугольную декартову систему координат: ось проведем через фокусы эллипса, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 3.4). По определению эллипсу удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых
. (1)
Чтобы получить уравнение эллипса следует записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы эллипса имеют следующие координаты: F1 (–c; 0); F2 (c; 0). Произвольную (или текущую) точку множества опять обозначаем M(x; y). Так как
, ,
то уравнение (1) равносильно следующему:
, (2)
которое, в свою очередь, равносильно
Рис. 3.4 уравнению:
. (3)
Оба эти уравнения являются уравнениями эллипса, но мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:
(3)
.
Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:
. (4')
Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:
. (4)
Мы доказали: если точка принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).
Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит эллипсу. Итак,
{M (x; y) удовлетворяет (4)}
. (5)
Аналогично получаем:
. (6)
Находим сумму расстояний:
[(4) ]=.
Таким образом, (4) – уравнение эллипса, которое и называется его каноническим уравнением.
Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению
1. Из (4) вытекает: если точка M(x; y) принадлежит эллипсу, то , т.е. эллипс полностью лежит внутри этого прямоугольника.
2. Так же как и гипербола, эллипс симметричен относительно обеих координатных осей и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, центр симметрии – его центром.
3
x
Рис. 3.5. – в точках B1(0; –b), B2(0; b). Эти точки называются вершинами эллипса Числа а и b называются полуосями эллипса, большой и малой соответственно.
4
y
y
при , поэтому функция убывает на отрезке . Так как и , то в точке пересечения эллипса с осью он имеет горизонтальную касательную, а в точке пересечения с осью – вертикальную. Так же, как и у гиперболы, фокусы эллипса находятся в точках F1 (–c; 0) F2 (c; 0). Теперь уже можно эллипс изобразить (см. рис. 3.5).
Замечание. Уравнение (4) задаёт эллипс, фокусы которого лежат на оси абсцисс при , и лежат на оси ординат при . Если же , то (4) – уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. В этом случае c = 0. Таким образом, окружность – это частный случай эллипса с совпадающими фокусами.