§6. Пучок плоскостей. Пучок прямых на плоскости

Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Эта прямая называется осью пучка.

Теорема. Пусть задана прямая в пространстве в виде пересечения двух плоскостей

(1)

и

.

Тогда при любых действительных значениях чисел и , неравных нулю одновременно, уравнение

(2)

задает плоскость, проходящую через заданную прямую и обратно, уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую, может быть получено из уравнения (2) при некоторых значениях и .

Поэтому уравнение (2) называется уравнением пучка плоскостей.

►Если числа и неравны нулю одновременно, то (2) – уравнение первой степени, значит, в пространстве задает некоторую плоскость. Если точка принадлежит заданной прямой, то

поэтому и . Таким образом, принадлежит плоскости (2).

Обратно, пусть – некоторая плоскость, проходящая через заданную прямую. Рассмотрим два случая.

а) – это плоскость (1). Тогда ее уравнение получается из (2) при и .

б) не совпадает с плоскостью (1). Выберем какую-либо точку , но не лежащую на заданной прямой, и положим , . Тогда среди чисел и есть отличные от нуля, значит, при этих значениях и уравнение (2) задает плоскость. Чтобы убедиться, что эта плоскость и есть искомая, достаточно показать, что ее уравнению удовлетворяет точка . Это можно сделать с помощью непосредственной подстановки.◄

Пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых на этой плоскости, проходящих через одну и ту же точку. Эта точка называется центром пучка.

Точно так же, как для плоскостей, для прямых на плоскости доказывается

Теорема. Пусть на плоскости заданы две прямые и , проходящие через одну и ту же точку . При любых значениях и , не равных нулю одновременно, уравнение

(3)

задает прямую, проходящую через точку , и обратно, каждая прямая, проходящая через , задается уравнением (3) при некоторых значениях и .

Поэтому уравнение (3) называется уравнением пучка прямых с центром в точке .

§7 Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть на плоскости заданы прямая своим общим уравнением и некоторая точка . Найдем расстояние от точки до заданной прямой.

Пусть – некоторая фиксированная точка прямой , – её нормальный вектор. Обозначим основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , и О, как обычно – начало координат. Обозначим также и – радиус-векторы точек и соответственно (рис. 2.4). Тогда

.

Если же прямая на плоскости задана общим уравнением в векторной форме , то расстояние от точки до этой прямой находится по формуле .

Т

Рис.2.4

аким образом, расстояние от точки до прямой на плоскости численно равно модулю результата подстановки координат точки (или ее радиус-вектора) в общее уравнение этой прямой, деленному на длину нормального вектора.

Обозначим . Из рисунка 2.4 легко вытекает справедливость следующего утверждения: всякая прямая на плоскости с уравнением делит плоскость на две полуплоскости так, что для всех точек одной полуплоскости результат подстановки координат точки в общее уравнение прямой есть число положительное , а для всех точек другой – отрицательное .

Пусть теперь в пространстве заданы плоскость своим общим уравнением (или ) и точка . Точно так же, как и для прямой на плоскости, доказывается утверждение: расстояние от точки до плоскости численно равно модулю результата подстановки координат точки в общее уравнение плоскости, деленному на длину нормального вектора, т.е. справедливы формулы:

, или .

Верно и следующее утверждение: любая плоскость делит пространство на два полупространства, так, что для всех точек одного полупространства результат подстановки координат точки в общее уравнение есть число положительное, а для всех точек другого – отрицательное.

29