3.2. Основные типы задач и методы их решения Классификация

1. Определение механической работы переменной силы.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения или использование соотношения, связывающего приращение механической энергии с работой.

2. Нахождение силы, действующей на частицу в потенциальном поле, и определение условий равновесия.

Метод решения. Использование соотношения , связывающего силу и потенциальную энергию. Отыскание минимума и максимума потенциальной энергии.

3. Столкновение частиц.

Метод решения. Применение законов сохранения импульса и энергии.

Примеры

I тип задач. Частица совершает перемещение в плоскости ХУ из точки С(1, 2)м в точку D(2, 3)м. На частицу действует сила . Определить работу.

Решение

Элементарная работа, совершаемая силой , при перемещении

.

Тогда работа при перемещении частицы из точки С в точку D определится интегрированием

= 7 Дж.

II тип задач

1. Потенциальная энергия частицы имеет вид , где а=const. Найти: а) силу , действующую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки М(1, 1, 1) в точку N(2, 2, 3).

Решение

Используя выражение, связывающее потенциальную энергию частицы с силой, действующей на нее, получимДля потенциального поля работа сил поля равна убыли потенциальной энергии:

.

По известным координатам точек 1 и 2 находим U₁ и U₂. Получаем значение .

2. Потенциальная энергия частицы, имеющей одну степень свободы (х) описывается уравнением

.

Имеются ли у частицы положения равновесия?

Решение

Исследуем функцию U_x на максимум и минимум с помощью первой и второй производных. Первая производная

.

И

з уравнения находим критические значения х: ; .

Вторая производная .

Исследуем характер каждой критической точки:

(max); (min).

Таким образом, частица имеет два положения равновесия (рис.3.1): неустойчивое ; устойчивое .

I II тип задач

1. Протон с энергией E_p = 0,2 МэВ упруго рассеивается на -частице под углом . Считая массу -частицы в 4 раза больше массы протона, определить энергию протона и -частицы после удара ( и ).

Решение

Введем обозначения: - скорость протона до удара; - после удара; - скорость частицы после удара (до удара она была равна нулю). По законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем

; (1)

. (2)

Для выполнения расчетов необходимо перейти от векторной формы записи уравнения (1) к скалярной. Это можно сделать, применив, как обычно, метод проекций. В данном случае можно поступить проще. Из треугольника импульсов (рис. 3.2) имеем:

.

Решая это уравнение совместно с (2), находим

=0,08 МэВ; =0,12 МэВ.

3.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Сила, действующая на частицу, имеет вид, где а=const. Вычислить работу, совершаемую над частицей этой силой на пути от точки C (1, 2, 3) м до точки D (7, 8, 9) м. [А = 6а Дж]

2. Тело массой m начинает двигаться под действием силы . Найти мощность, развиваемую силой в момент времени t. []

3. Тело массой m =1,0 кг падает с высоты h = 20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: среднюю по времени мощность <N>, развиваемую силой тяжести на пути h; мгновенную мощность N на высоте .[97 Вт; 137 Вт]

4. Материальная точка массой m = 1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению S=2–3t+5t²–t³. Определить мощность N, затрачиваемую на движение точки за время, равное 1 с.[16 Вт]

5. Потенциальная энергия частицы имеет вид , где r – модуль радиус-вектора частицы; k –константа (k > 0). Найти силу, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей при переходе ее из точки В(1, 2, 3) в точку С(2, 3, 4). [ , А = -7,5 k]

6. Сила упругости некоторой пружины записывается в виде . Записать функцию потенциальной энергии. []

7. Вычислить работу, совершаемую на пути S=12м равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила F₁=10 Н, в конце пути F₂=46 Н.[336 Дж]

8. Вагон массой m=20т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью =54 км/час, под действием силы трения F=6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу силы трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки. [ А=2,25 МДж; S=375 м]

9. Пуля массой m=10г, имеющая горизонтальную скорость м/с, пробивает подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой М=1кг. Скорость пули на вылете остается горизонтальной и равной 287м/с. На какую высоту поднимется брусок после удара. [0,49 м]

10. Тело массой m = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой h = 10 см и длиной l = 1 м. Коэффициент трения тела на всем пути k = 0,04. Определите: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки. [0,24 Дж; 1,53 м]

11. Цепочка массы m, длины l лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

[]

12. Спортсмен с высоты h = 12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием только силы тяжести спортсмена х₀ = 15 см. [в 13,7 раза]

13. Груз массой 700 кг падает с высоты 5 м для забивки сваи массой 300 кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим. [6,11∙10⁵ Н]

14. Пуля массой m =15 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной = 1 м и массой М = 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения φ маятника.[36,9⁰]

15. В баллистический маятник длиной =1м и массой М= 1,5 кг попала пуля массой m = 15 г и застряла в нем. Найти скорость пули, если маятник, отклонился после удара на 30⁰.

[164 м/с]

16. Два шара, массами m₁=0,2 кг и m₂=0,1 кг, подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если: а) удар упругий, б) удар неупругий? [а) h₁=0,005 м, h₂ = 0,08 м; б) h =0,02 м]

17. Шар массой 20 г, движущийся горизонтально с некоторой скоростью υ₁, столкнулся с неподвижным шаром массой 40 г. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю ε своей кинетической энергии первый шар передал второму? [0,89]

18. Во сколько раз уменьшается скорость α-частицы после центрального упругого удара о неподвижный протон, масса которого m₂ в 4 раза меньше массы m₁ α-частицы? [ 5/3]

19. Шар массой m испытывает лобовое упругое соударение с другим шаром (покоившимся до удара) и отлетает от него в противоположном первоначальному движению направлении со скоростью втрое меньше начальной. Чему равна масса второго шара? [2m]

20. Частица массой m с импульсом Р испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массой m₂ (m₂ > m₁). Найти импульс первой частицы после столкновения, если в результате столкновения она рассеялась под углом к первоначальному направлению движения.

[]

3.4. Варианты контрольных заданий

по механической работе и энергии

Вариант	1	2	3	4	5	6	7
Номера задач	1	2	3	4	5	6	7
	9	17	18	13	14	15	16

4. Динамика вращательного движения

твердого тела

4.1. Основные формулы

1. Основное уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

,

где M_z – алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно оси z; I_z – момент инерции тела; - модуль углового ускорения.

2. Момент инерции:

а) материальной точки:;

б) твердого тела: , где - плотность в данной точке тела.

3. Теорема Штейнера

,

где I – момент инерции тела относительно произвольной оси; I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; m – масса тела.

4. Соотношение между моментами инерции тела относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке О, и моментом инерции того же тела относительно этой точки

,

где - момент инерции тела относительно точки; R – расстояние от dm до неподвижной точки О; I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О.

5. Закон сохранения момента импульса

.

6. Кинетическая энергия твердого тела:

а) вращающегося вокруг неподвижной оси: ;

б) при плоском движении: , где - скорость движения центра масс.

7. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:

а) в общем случае:;

б) в случае постоянного момента силы: ,

где - угол поворота тела.

8. Аналогия между формулами динамики поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение	Вращательное движение
m – масса - импульс - сила	- момент инерции - момент импульса - момент силы