- •Кинематика. Динамика. Законы сохранения
- •Кинематика. Динамика. Законы сохранения
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •1. Кинематика
- •1.1. Основные формулы
- •1.2. Основные типы задач и методы их решения Классификация
- •Примеры
- •IV тип задач.
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •1.4. Варианты контрольных заданий по кинематике
- •2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •2.1. Основные формулы
- •2.2. Основные типы задач и методы их решения Классификация
- •Примеры решения задач
- •I V тип задач.
- •2.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •3.2. Основные типы задач и методы их решения Классификация
- •Примеры
- •II тип задач
- •I II тип задач
- •3.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •4.2. Типы задач и методы их решения Классификация
- •Примеры
- •I тип задач
- •II тип задач
- •III тип задач
- •IV тип задач.
- •4.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий
- •4.4. Варианты контрольных заданий по динамике вращательного движения
- •Библиографический список
- •Содержание
4.2. Типы задач и методы их решения Классификация
1. Вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы.
Метод решения.
Непосредственно интегрирование выражения для момента инерции тела .
Предварительное вычисление момента инерции тела относительно точки по формуле с последующим использованием соотношения .
2.Вращательное и поступательное движение тел и простейших систем.
Метод решения.
Применение основного уравнения динамики для вращательного и поступательного движения.
Применение закона сохранения энергии.
3. Упругий и неупругий удар в твердое тело, закрепленное на оси.
Метод решения. Применение законов сохранения энергии и момента импульса взаимодействующих тел.
4. Определение работы при вращательном движении.
Метод решения. Прямое интегрирование выражения , либо использование соотношения
.
Примеры
I тип задач
1. Найти момент инерции однородного круглого цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.
Решение
Р ассмотрим тонкостенный цилиндр радиусом r, толщиной dr и высотой h (рис. 4.1). Его объем
.
Момент инерции тонкостенного цилиндра
,
где - плотность цилиндра.
Момент инерции всего цилиндра определится интегралом
Ввиду однородности цилиндра
С учетом этого, получим окончательно
.
2. Найти момент инерции однородного шара радиусом R и массой m: 1) относительно оси, проходящей через центр шара; 2) относительно оси, касательной к поверхности шара.
Решение
1) Сплошной шар можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами
,
где - объем сферического слоя.
Момент инерции сферического слоя относительно центра шара, очевидно, равен
,
а момент инерции всего шара
.
Согласно формулы
,
где ввиду симметрии и момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара, равен
.
С учетом того, что , получим окончательно
.
2) Согласно теореме Штейнера момент инерции шара относительно оси, касательной к его поверхности,
,
где , .
После подстановки получим
.
II тип задач
1 . Через блок в виде диска массой m0 перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m1 и m2. Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.
Решение
Заданная система состоит из трех тел – грузов m1 и m2, движущихся поступательно, и блока, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 4.2). Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения.
Установим силы, действующие на тела данной системы, и напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . Уравнения движения этих тел в проекции на ось у имеют вид
, (1)
. (2)
Вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока
. (3)
Мы учли, что по третьему закону Ньютона силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.
, .
Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, следовательно,
, (4)
где R – радиус блока; - его угловое ускорение.
Решение системы трех уравнений с учетом соотношения (4) дает искомый результат
.
2. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найти ускорение центра инерции шара.
Решение
Решим данную задачу двумя методами: как непосредственным использованием основного уравнения динамики, так и с помощью законов сохранения,
1-й метод
На шар действует сила тяжести , сила нормальной реакции и сила трения (рис. 4.3). Последняя является силой трения покоя, которая и создает вращающий момент относительно мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Следовательно, шар совершает сложное плоское движение, представляющее сумму поступательного движения и вращения вокруг центра инерции, уравнения которых в скалярной форме имеют вид
, (1)
. (2)
Найдем связь между ас и . Поскольку шар участвует в двух движениях, скорость любой его точки
где - скорость центра масс, т.е. скорость поступательного движения; - линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра инерции.
Для точки М в проекции на ось х
.
При отсутствии скольжения и , а после дифференцирования
. (3)
Учитывая (3) и выражение для момента инерции шара , преобразуем (2) к виду
. (4)
Решая уравнения (3) и (4) совместно, получим
.
2-й метод
Рассмотрим шар в некоторый момент его движения по наклонной плоскости. Пусть его положение в данный момент определяется координатой х. Полная механическая энергия шара, при условии, что за нулевой уровень потенциальной энергии выбрана точка О, будет равна
.
Дифференцируя данное выражение по времени, получим
.
После преобразования, с учетом того, что , , и , будем иметь
.
Откуда, заменяя момент инерции шара его значением , найдем .