- •Обов’язкова контрольна робота №2 поліноми
- •1 Кубічні рівняння.
- •Індивідуальне завдання 1.
- •2 Обчислення значення полінома та його похідних у точці.
- •1. Розкладання полінома за степенями бінома
- •2. Обчислення похідних полінома в даній точці .
- •Індивідуальне завдання 2.1
- •3 Подільність поліномів. Нсд двох поліномів. Знаходження нсд за алгоритмом Евкліда. Подання нсд через лінійну комбінацію поліномів.
- •Поліном нульового степеня є дільником будь якого полінома степеня .
- •Індивідуальне завдання 2.2
- •4 Розкладання полінома на кратні та незвідні множники.
- •Індивідуальне завдання 3.
- •5. Побудова полінома найменшого степеня за відомими коренями.
- •Індивідуальне завдання 4.
5. Побудова полінома найменшого степеня за відомими коренями.
Оберненою для сімейства задач про існування та визначення коренів поліномів є задача побудови поліному за відомими коренями.
Доведено, що поліноми -го степеня, визначені на множені комплексних чисел мають точно коренів. Причому кількість дійсних коренів буде або співпадати із загальною кількістю коренів або буде меншим за на парне число.
Виходячи з такого факту можна зробити висновок, що дійсних коренів належать до поліному мінімального степеня .
Спосіб побудови коефіцієнтів такого полінома дає теорема Вієта.
Для коренів алгебраїчного рівняння -го степеня
Справедливі співвідношення:
…………………………….
Наведені формули називаються формулами Вієта.
Якщо поліном заданий на множині , то крім дійсних коренів поліном може мати парну кількість комплексних коренів і тому загальний степінь полінома буде більшим за .
Отже, якщо задати дійсних коренів поліному, можна за формулами Вієта побудувати зведений () поліном -го степеня
Умноживши зведений поліном на довільну сталу отримаємо сукупність асоційованих поліномів найменшого степеня, тобто поліномів, які можна отримати один з одного множенням на сталу (поліном нульового степеня).
Приклад
Відомо, що числа 1, 2, -1, 4, 3 є коренями полінома. Побудувати поліном найменшого степеня, який має такі корені. Побудувати усі асоційовані до нього поліноми.
Розв’язання.
Розглянемо формули Вієта для п’яти коренів. Маємо
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 2: . Вимога виконана.
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 3: . Вимога виконана.
Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 4: . Вимога виконана.
У виведені формули підставимо корені. Отримаємо коефіцієнти зведеного поліному:
Запишемо зведений поліном:
Перевіримо, чи правильно знайдені коефіцієнти:
корінь полінома;
корінь полінома;
Корені -1, 4,3 пропонується студентам перевірити самостійно.
Зведений поліном найменшого степеня побудований правильно. Усі асоційовані поліноми можна записати так:
Індивідуальне завдання 4.
Використовуючи формули Вієта побудувати зведений поліном найменшого степеня у множині за заданими коренями. Перед розв’язанням записати загальні формули для такого поліному. Побудувати усі поліноми, асоційовані із отриманим зведеним.
Номер варіанту |
|||||
1 |
3 |
3 |
3 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
4 |
3 |
- |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
6 |
- |
2 |
2 |
-3 |
|
7 |
2 |
2 |
2 |
1 |
4 |
8 |
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
9 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
10 |
- |
1 |
1 |
1 |
|
11 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
12 |
3 |
3 |
3 |
1 |
1 |
13 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
14 |
- |
2 |
2 |
-2 |
|
15 |
4 |
4 |
4 |
-1 |
-1 |
16 |
3 |
3 |
3 |
-2 |
-1 |
17 |
- |
1 |
1 |
3 |
|
18 |
2 |
2 |
-1 |
-1 |
1 |
19 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
3 |
20 |
- |
-2 |
-2 |
-2 |
|
21 |
3 |
3 |
-2 |
-2 |
1 |
22 |
2 |
2 |
2 |
-1 |
-4 |
23 |
- |
-1 |
-2 |
-1 |
|
24 |
1 |
1 |
-3 |
-3 |
2 |
25 |
- |
-1 |
-1 |
-1 |
|
26 |
2 |
2 |
2 |
-1 |
-1 |
27 |
-1 |
-1 |
-1 |
3 |
3 |
28 |
-1 |
-1 |
2 |
2 |
-3 |
29 |
- |
-1 |
-1 |
2 |
|
30 |
5 |
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
Докладніше дивись отримання кореня n-го степеня з довільного комплексного числа за допомогою значень кореня кубічного з 1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры/ М: Наука, 1968, гл.4, §19, стор. 128