7.6. Варианты заданий

7.1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

7.2. Найти интегралы методом подстановки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

7.3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

7.7. Контрольные вопросы

1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?

2. Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.

3. Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.

5. Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.

6. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?

7. Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и и dv при интегрировании по частям?

8. Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.

9. Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?

Глава 8. Определенный интеграл

8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a=x₀<x₁<…<x_n–1<x_n=b; на каждом элементарном отрезке [x_k–1, x_k] выберем произвольную точку c_k и обозначим через длину каждого такого отрезка. Вычислим значения функции f(x) в точках c_k, где k={1, 2, …, n}.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида

(8.1)

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы (8.1), при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

(8.2)

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, [a; b] – промежутком интегрирования.

Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

2. 

3. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), заданных на отрезке [a; b], равен сумме определенных интегралов от этих функций:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. 

6. , где a < c < b.

7. Если f(x)0 на отрезке [a; b], то ; если f(x)0 на отрезке [a; b], то .

8. Если m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b]: mf(x)M, то .

9. Если f(x)  g(x) на отрезке [a; b], то .

10. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке х=с отрезка интегрирования [a; b] на длину этого отрезка (теорема о среднем):

или .

11. .

12. .