2.9. Примеры

1. Найти производную функции .

Решение.

2. Найти производную функции .

Решение.

3. Точка движется по закону х(t) = t – sin t. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t=4с.

Решение.

Воспользуемся формулой (3.3.1):

V= х′(t) = (t – sin t) ′ = 1 – cos t,

V(4)=1–cos 41,6 (м/с).

Аналогично по формуле (3.3.2):

а= V′ = (1 – cos t) ′ = sin t,

а(4)=sin 4–0,76 (м/с²).

4. Найти дифференциал функции f (x) = ln(x²+1).

Решение.

По формуле (3.8.1) получим

df = (ln (x²+1)) ′dx =

5. Найти производную второго порядка от функции f (x) = sin² х.

Решение.

6. Вычислить значение дифференциала функции f (x) = х³+2х, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение.

Прежде находим общее выражение для дифференциала этой функции:

df = (x³+2x) ′dx = (3x²+2)dx.

Определим приращение аргумента Δx=dx = 1,1–1=0,1.

Подставляя значения dx=0,1 и x=1 в последнюю формулу, получаем искомое значение дифференциала: df=0,5.

7. Используя понятие дифференциала, найти приближенное значение.

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=. Требуется вычислить значение f(1,06). Выберем х₀ = 1, Δх = 0,06 и воспользуемся формулой (3.7.2)

f(1+0,06) ≈ f (1)+f ^/(1) 0,06=.

Здесь мы воспользовались равенством

2.10. Варианты заданий

2.1. Найти производные следующих функций:

1. у = сos³x;

2. ;

3. у=(3x+2)(x²+4x–1);

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. 

12. 

13. 

14. у =

15. у =

16. 

17. 

18. 

19. у = sin³(2x + π/6)

20. y = (3x+1)²(2x-3)⁷

21. 

22. y = cos(sin(cos(sinx)))

23. y = x³ + e^x –cos3x

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. y = x^tgx

33. y = x^cosx

34. y = x^sin2x

35. y =

2.2. Найти производную данной функции в точке х₀:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2.3. Найти производные указанных порядков для следующих функций:

1. y = ln cos x, y^//=?;

2. y = 5^x, y^///=?;

3. y = sin² x, y^///=?;

4. ;

5. , у^//=?;

6. .

2.4. Решить следующие задачи:

1. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой х=–0,5.

2. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начального пункта через t сек. равно. В какие моменты точка была в начальном пункте? В какие моменты ее скорость равна нулю?

3. Количество вещества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, дается формулой Q=2t²+3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.

4. Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

2.5. Найдите производную указанной функции, сначала по х, считая t постоянной, а затем по t, считая х постоянной:

1. 

2. 

3. 

2.6. Найти дифференциалы указанных порядков для следующих функций:

1. , d–?

2. , d–?

3. ln (ln x), d–?

4. sin 2x, d²–?

5. e^{cos x}, d²–?

6. e^x+x², d³–?

7. , d–?

8. e^2x, d⁽ⁿ⁾–?

2.7. Вычислить приближенно:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ln 1,02.