- •Глава 1 введение
- •§ 1.1. История развития энергетики и современное ее состояние
- •§ 1.2. Техническая термодинамика как теоретическая основа теплоэнергетики
- •§ 1.3. Краткий исторический очерк развития термодинамики
- •Контрольные вопросы
- •Глава 2 первый закон термодинамики. Основные понятия и определения
- •§ 2.1. Термодинамическая система и окружающая среда
- •§ 2.2. Основные термодинамические параметры состояния
- •§ 2.3. Термодинамический процесс
- •§ 2.4. Уравнение состояния
- •§ 2.5. Уравнения состояния реальных газов
- •3) Область перегретого пара, расположенную правее кривой вк и выше точки к.
- •§ 2.6. Термические коэффициенты и связь между ними
- •§ 2.7. Энергия. Внутренняя энергия
- •§ 2.8. Теплота и работа
- •§ 2.9. Первый закон термодинамики
- •§ 2.10. Применение дифференциального исчисления функций многих переменных в термодинамике
- •§ 2.11. Теплоемкость
- •Контрольные вопросы
- •Глава 3 второй закон термодинамики
- •§ 3.1. Энергия и энтропия
- •§ 3.2. Равновесность и обратимость процессов
- •§ 3.3. Условия работы тепловых машин
- •§ 3.4. Цикл карно
- •§ 3.5. Обратный обратимый цикл карно
- •§ 3.6. Метод циклов. Открытие энтропии как функции состояния
- •§ 3.7. Общая математическая формулировка второго закона термодинамики
- •§ 3.8. Физический смысл и свойства энтропии
- •1. Энтропия является мерой потери работоспособности системы вследствие необратимости реальных процессов.
- •§ 3.9. Статистический смысл второго закона термодинамики
- •§ 3.10. Обобщенный термодинамический цикл карно. Регенерация теплоты
- •§ 3.11. Эксергетический метод исследования
- •§ 3.12. Эксергия рабочего тела
- •§ 3.13. Эксергия потока рабочего тела
- •§ 3.14. Эксергия теплоты
- •Контрольные вопросы
- •Глава 4 термодинамические процессы изменения состояния идеального газа
- •§ 4.1. Общие вопросы исследования процессов
- •§ 4.2. Изохорный процесс
- •§ 4.3. Изобарный процесс
- •§ 4.4. Изотермический процесс
- •§ 4.5. Адиабатный процесс
- •§ 4.6. Политропный процесс
- •Глава 5 характеристические функции и термодинамические потенциалы.
- •§ 5.1. Свойства характеристических функций
- •§ 5.2. Дифференциальные уравнения термодинамики
§ 2.10. Применение дифференциального исчисления функций многих переменных в термодинамике
Переменные параметры состояния, входящие в уравнения термодинамики, могут быть функционально связаны друг с другом. Это приводит к необходимости использования методов теории дифференциальных уравнений. Из анализа частных производных, содержащихся в дифференциальных уравнениях термодинамики, можно установить их физический смысл, а в результате и направление физического процесса.
Уравнения первого закона термодинамики вида
(2.25)
(2.26)
относятся в математике к классу так называемых функций Пфаффа от двух переменных величин. Общий вид этих функций
(2.27)
для двух и
для n независимых переменных. Здесь x1, x2, x3, … xn - независимые переменные, а М(х,у), N(х, у), Х1, Х2, Х3, …, Хn - функции этих переменных.
Например, для случая, когда независимыми переменными являются давление р и удельный объем v известно, что энтальпия i является функцией р и v (i = f(p,v)). Это означает, что в некоторой точке с параметрами р и v будем иметь определенное значение функции i. В то же время, например, работа не является функцией этих же независимых переменных. Т.е. для каких-то определенных значений р и v нельзя указать, чему будет равна работа. В математике различают два вида функций Пфаффа. Первый вид – dФ является полным дифференциалом некоторой функции Ф(х,у). В этом случае выполняется равенство (условие Эйлера)
(2.28)
Такие функции в математике называются функциями точки, а в термодинамике - функциями состояния.
Например, температура есть функция состояния таких независимых параметров, как давление и удельный объем. Это означает, что в любом состоянии, характеризуемом параметрами р и v, температура имеет вполне определенное значение, т.е. функция T=f(p,v) существует.
Второй вид функций Пфаффа - dФ не является полным дифференциалом функции Ф(х,у). В этом случае равенство (2.28) не выполняется, т.е.
(2.29)
Функции Пфаффа второго вида в математике называются функциями линии, а в термодинамике функциями процесса.
Полный дифференциал функции Ф записывается в виде
(2.30)
Покажем, что если (2.30) полный дифференциал, то выполняется равенство (2.28).
Сравнивая (2.30) и (2.27), находим
(2.31)
После дифференцирования первого выражения из (2.31) по у, а второго - по х, получим
и . (2.32)
Из (2.32) получаем (2.28). Отсюда заключаем, что условие (2.28) является необходимым для существования полного дифференциала функции Ф(х, у). Очевидно, что оно будет также и достаточным условием, если частные производные функции Ф(х,у) непрерывны и в окрестности точки (х, у).
В случае, когда dФ есть полный дифференциал некоторой функции F(х,у), то значение интеграла от dФ не зависит от пути интегрирования и определяется только начальными и конечными значениями параметров точек процесса (не зависит от пути перехода от начальной точки к конечной)
Интегрируя, получим
Интеграл, взятый по замкнутому контуру от некоторой функции, дифференциал которой является полным дифференциалом, равен нулю
Отсюда следует обратное заключение - если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подинтегральная величина является полным дифференциалом некоторой функции переменных х и y.
Ввиду того, что параметры термодинамической системы р, v, T, ее внутренняя энергия u и энтальпия i являются функциями состояния системы, то их дифференциалы являются полными дифференциалами.
Функции Пфаффа второго вида могут быть проинтегрированы лишь в случае, если одна из независимых переменных становится функцией другой, т.е. если, например, y=f(x). Этой зависимостью описывается переход из одного состояния в другое. Соотношение (2.27) тогда можно привести к виду
Результат интегрирования этого уравнения будет
для процесса и
для цикла.
Из числа уже рассмотренных выше термодинамических величин к функциям процесса относятся работа процесса l, располагаемая работа l0 и теплота процесса q. Эти величины в pv (l и l0) и Ts (q) координатах определяются площадью под кривой процесса и зависят от формы пути процесса. Дифференциалы этих величин не являются полными дифференциалами. В уравнениях первого закона термодинамики, записанных в дифференциальной форме, перед l, l0 и q сохраняется символ d, однако следует иметь в виду, что их дифференциалы не являются полными.
В уравнение (2.25) первого закона термодинамики входит теплота q. Докажем, что теплота является функцией процесса. Для этой цели уравнение (2.25) приведем сначала к виду функции Пфаффа.
Известно, что u и v являются функциями состояния. Следовательно, их дифференциалы будут полными дифференциалами. Тогда, рассматривая общий случай некоторых независимых параметров х и у, можно записать
(2.33)
(2.34)
Подставляя (2.33) и (2.34) в (2.25), получим
или
где
(2.35)
(2.36)
Дифференцируя (2.35) и (2.36) соответственно по у и по х, после некоторых преобразований получим
Это выражение представляет собой детерминант Якоби (якобиан)
Если вместо x и y подставлять значения параметров состояния для некоторых частных случаев, то можно убедиться, что при любом выборе параметров детерминант всегда не будет равен нулю. Следовательно, условие (2.28) не соблюдается, а это значит, что dq не является полным дифференциалом, и функция q не является функцией состояния.
Однако из математики известно, что для пфаффовой формы (2.28) существует так называемый интегрирующий множитель µ=(х,у). Если пфаффову форму умножить на этот множитель, то снова получим полный дифференциал некоторой функции (доказательство см. в [15]).
Так как теплота, в противоположность любому виду энергии, не является функцией состояния рабочего тела, то не следует вместо термина "теплота" применять термин "тепловая энергия". Точно так же ошибочно механическую работу называть механической энергией.