2. Компьютерная алгебра

Пожалуй, наиболее сильное впечатление от работы программы Mathcad пользователи получают при выполнении символьных (т. е. аналитических) математических преобразований. Когда в Mathcad используется символьная математика, то результатом преобразований является не число, а', новое выражение.

Символьные функции системы Mathcad были заимствованы из пакета Maple V, который разработан фирмой Waterloo Maple Software.

Рассмотрим, как производятся тождественные преобразования. Для примера приведем многочлен к стандартному виду. Если набрать выражение '

7-х +- 2-у +■ 3-х- 4-у, затем в Главном меню выбрать пункт Symbolics (Символы), далее подпункте Evaluate (Расчеты), а затем — опцию Symbolically (Символические), то в результате выполненных машиной упрощений на экране появится выражение ]

10-х-2-у. Запустить символьный процессор на проведение преобразований можно по-другому. Набрав необходимое выражение, следует нажать аккорд клавиш Ctrl +. (т.е. одновременно нажимаются две клавиши: Control и точка). На экране появится выражение

7-х + 2-у + 3-х-4-у. После нажатия клавиши Enter или щелчка левой кнопкой мыши за пределами выражения получится вышеприведенный результат.

Третий способ получения результата базируется на использовании I кнопки i, находящейся в палитре «Символьные операции».

Математическая система позволяет получать формулы сокращенного; умножения. Например, если нужно развернуть выражение (возвести двучлен в натуральную степень)

(а ₊ Ь)², то его следует активизировать, создав снизу справа от выражения синий уголок

а затем в пункте Symbolics (Символы) выбрать опцию Expand (Расширить). В результате на экране появится следующее выражение:

а² + 2-a-b + b²

Если требуется свернуть выражение вида

а³ + За²*b + 3*a-b² + b³

то его следует активизировать, а затем через пункт Symbolics (Символы) выполнить опцию Factor (Фактор). В результате на экране появится выражение:

(а + b)³.

Последним способом можно вынести множитель за скобку. Например, дано выражение

а-с + b*с

После использования опции Factor получим:

с*(а + Ь)

Посмотрим, как осуществить разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Для примера возьмем выражение

6-х²- х-2.

После стандартного выделения выражения (образование синего уголка) и запуска опции Factor (Фактор) получим

(2-х+ 1)*(3-х- 2)

Mathcad позволяет упростить выражение, например, сократить дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на общий множитель. В качестве примера возьмем выражение:

x² – 3*х*у

9y²-x²

Выбрав опцию Simplify (Упростить) в пункте Главного меню Symbolics (Символы), получим

-x .

(х+3*у).

Рассмотрим еще один пример упрощения выражения (опция Simplify):

sin(x)⁴ + cos(x)⁴ - 1

sin(x)⁶ + cos(x)⁶ - 1

Результат этого преобразования равен 2/3.

Система позволяет выполнять решение уравнений в символьном виде. Например, если набрать выражение

а *х²+b*x+c,

в котором выделить переменную х (для выделения переменной нужно установить вертикальный курсор справа от переменной), то после поочередного выполнения опций Symbolics (Символы), Variable (Переменные), Solve (Вычислить) будет получен хорошо известный ответ Система позволяет найти производную в символьном виде. Вначале нужно курсором указать (т. е. выделить) переменную дифференцирования:

sin(x|).

Затем в пункте Главного меню Symbolics (Символы) выбрать опцию Variable (Переменные), а в появившемся субменю — опцию Differentiate (Дифференцирование). В результате получим

cos(x).

П ри дифференцировании система рассматривает все символы выражения как константы, за исключением выделенной переменной.

Р ассмотрим способ нахождения производных высокого порядка в символьном виде. С помощью кнопки следует создать заготовку, в которую занести необходимые символы, например:

После этого с помощью кнопки, находящейся в палитре «Символьные операции», можно получить ответ

Р ассмотрим, каким образом можно найти первообразную в символьном виде. Пусть дано выражение, которое нужно проинтегрировать:

sin(k-x).

Укажем курсором переменную интегрирования (в данном случае это х).

sin(k • х|).

В пункте Symbolics (Символы) выберем подпункт Variable (Переменные), а затем опцию Integrate (Интегрирование). В результате будет получено

Система позволяет найти производную в символьном виде. Вначале нужно курсором указать (т. е. выделить) переменную дифференцирования:

sin(x|).

Затем в пункте Главного меню Symbolics (Символы) выбрать опцию Variable (Переменные), а в появившемся субменю — опцию Differentiate (Дифференцирование). В результате получим

cos(x).

При дифференцировании система рассматривает все символы выражения как константы, за исключением выделенной переменной.

Рассмотрим способ нахождения производных высокого порядка в символьном виде.

С помощью кнопки следует создать заготовку, в которую занести необходимые

символы, например:

После этого с помощью кнопки, находящейся в палитре «Символьные операции»,

можно получить ответ

Рассмотрим, каким образом можно найти первообразную в символьном виде. Пусть дано выражение, которое нужно проинтегрировать:

sin(k-x).

Укажем курсором переменную интегрирования (в данном случае это х).

sin(k • х|).

В пункте Symbolics (Символы) выберем подпункт Variable (Переменные), а затем опцию Integrate (Интегрирование). В результате будет получено

Рассмотрим порядок вычисления неопределенного интеграла, используя привычную запись символов. Выберем такой вид интеграла:

Выделим интеграл синим уголком. Нажав аккорд клавиш Shift + F9 (это еще один способ запуска программы на счет), получим

Анализируя последний результат, легко заметить, что в ответе нет постоянной интегрирования, т. е. она во всех случаях работы математической системы принимается равной нулю.

С истема дает возможность находить значения определенных интегралов, как в символьном, так и в числовом виде. Например:

Символьный процессор позволяет производить разложение в ряд Маклорена. Выполним разложение функции, указав курсором аргумент:

sin(x|).

Р азложение выполняется с помощью опции Expand to Series. (Разложить на составляющие). Приведем полученный результат:

Последнее слагаемое характеризует ошибку разложения в ряд.

Рассмотрим порядок вычисления пределов.

Чтобы вызвать оператор предела, нужно нажать одновременно клавиши Ctrl+L или воспользоваться соответствующей палитрой.

Затем ввести выражение в поле ввода, находящееся справа от оператора lim. После этого ввести переменную, по которой вычисляется предел, в левое поле ввода ниже оператора lim. Наконец, в оставшееся поле ввести значение предела. Полученное выражение охватить уголком и нажать аккорд клавиш Shift + F9.1

Возьмем конкретный пример:

Результат вычислений равен 1.

Р ассмотренные выше примеры можно запустить на счет не только с помощью Главного меню (пункт Symbolics), но и с помощью показанной ниже палитры, в которой содержатся уже знакомые опции: expand, solve, simplify, series, factor и др.

Символьный процессор, безусловно, одно из величайших достижений человеческого разума. Однако результаты, полученные с его помощью, не всегда рациональны (компактны).

Так, нахождение первообразных для интегралов, приведенных в справочнике по интегралам Двайта, в 50—60% случаев дает такие же результаты, как в упомянутой книге. В остальных случаях результаты не столь компактны, как в справочнике, а порой ЭВМ совсем не справляется с поиском первообразной.

Приведем два интеграла, с которыми система не справилась (не смогла найти первообразную):

Приведем еще один пример, который показывает, что пока еще есть простор для совершенствования символьного процессора:

Очевидно, что при использовании обратных функций ответ должен быть х, однако система до конца не выполнила очевидные преобразования.