Для записи модели объекта необходимо определить форму записи членов многочлена алгебраического уравнения с любым числом переменных и любым порядком.

Для многочленов с одной переменной естественно члены располагаются в порядке возрастания или убывания степеней переменной.

Для записи многочлена со многими переменными обычно используется лексикографический порядок членов многочлена. Этот способ взят из словарей, где слова упорядочены по алфавиту, взаимное расположение двух слов определяется по первым буквам, если они совпадают, то по вторым и т.д.

При лексикографической записи алгебраического многочлена в виде один из его членов будет стоять на первом месте, т.е. будет выше всех других членов. Этот член называется высшим членом многочлена.

Сложность (кривизна) поверхности определяется порядком алгебраического уравнения, поэтому для записи членов алгебраического многочлена целесообразно применить сортировку по степени от высшей к низшей и внутри степенных групп использовать лексографический порядок. Это дает нам возможность, повышая степень уравнения, сохранять порядок расположения членов в уравнении от низшей степени к высшей степени. Например, в записи алгебраического уравнения 4-ой степени, для трех переменных (x,y,z) общего вида, где присутствуют все члены уравнения (нет членов уравнения равных нулю, которые обычно опускаются для краткости записи)

4-ый порядок

3-ий порядок

2-ой порядок

1-ый порядок

нумерация коэффициентов многочлена сохраняется для всех четырех степеней алгебраических уравнений. Уравнение 4-ой степени содержит коэффициенты с по ; уравнение 3- ей степени содержит коэффициенты с по ; уравнение 2- ой степени содержит коэффициенты с по ; уравнение 1- ой степени содержит коэффициенты с по . Такая форма записи алгебраического многочлена удобна для компьютерной обработки, для понимания сложности поверхности графического объекта, является универсальной для записи алгебраических уравнений любой степени.

Рассмотрим алгебраические уравнения, которые описывают геометрические свойства поверхностей в трехмерном пространстве. Такие уравнения в общем виде имеют три переменные (x ,y, z ) и могут быть любого (кроме нулевого) порядка (степени).

Алгебраическое уравнение первого порядка общего вида

описывают простейшую по геометрической форме поверхность – плоскость, которая является бесконечной. Уравнение описывает любое положение плоскости в пространстве. Коэффициенты уравнения определяют ориентацию плоскости (поворот) относительной осей прямоугольной системы координат и смещение (расстояние) плоскости от начала системы координат по нормали плоскости.

Решением уравнения являются значения координат (x ,y ,z) точек, лежащих на плоскости. Число таких точек бесконечно.

Две плоскости, расположенные в пространстве, могут иметь по отношению друг другу три возможных положения: сливаться (коэффициенты одного уравнения равны коэффициентам другого уравнения соответственно или могут быть приведены к этому положению путем общего множителя или делителя), быть параллельными (отличаются только коэффициенты a₀) и пересекаться (любые другие комбинации).

При пересечении две плоскости дают прямую линию. Точки линии пересечения принадлежат обеим плоскостям. Найти значения точек линии пересечения двух плоскостей возможно путем решения системы, состоящей из двух уравнений плоскостей. Число таких решений бесконечно.

При пересечении три плоскости дают точку, которая принадлежит трем плоскостям. Для нахождения точки пересечения необходимо решить систему, состоящую из трех уравнений плоскостей. Решение такой системы единственное.

Путем пересечения плоскостей в пространстве можно построить и описать бесконечное число гранных тел.

Рассмотрим описание куба (рис.1.9), с центром, размещенном в начале системы координат, и размером ребра 100 мм.

Рис. 1.9

Так как куб имеет шесть граней, то необходимо записать систему уравнений из шести плоскостей.

(уравнение левой грани куба, отстоящей влево по оси x от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 1,2,3,4),

(уравнение правой грани куба, отстоящей вправо по оси x от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 5,6,7,8),

(уравнение передней грани куба, отстоящей на нас по оси y от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 1,5,8,4),

(уравнение задней грани куба, отстоящей от нас по оси y от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 2,6,7,3),

(уравнение верхней грани куба, отстоящей вверх по оси z от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 1,2,6,5),

(уравнение нижней грани куба, отстоящей вниз по оси z от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 4,3,7,8).

Так как грани куба расположены параллельно плоскостям системы координат, то в приведенных уравнениях .

Для нахождения координат вершины 1, которая образуется пересечением трех граней (1,2,3,4 - 1,5,8,4 - 1,2,6,5) необходимо решить систему

,

Получаем координаты вершины 1 (-50, 50, 50). Подобным образом находим координаты всех остальных вершин.

Далее определяем ребра. Имеем 12 ребер, которые выделяем по вершинам (1-2, 2-6, 6-5, 5-1, 1-4, 2-3, 6-7, 5-8, 4-3, 3-7, 7-8, 8-4).

Для определения любой точки ребра необходимо решать систему уравнений двух плоскостей, которые образуют ребро. Например, для ребра 1-2 (грани 1,2,3,4 и 1,2,6,5) следующие уравнения

.

При фиксированных значениях x = -50 и z = 50 y может принимать любые значения в промежутке от вершины 1 до вершины 2 (-50<y< 50). Например, точка (-50, 30, 50) лежит на ребре 1-2.

Для нахождения любой точки грани необходимо в уравнение грани подставлять значения переменных (x ,y ,z), в соответствующих пределах. Например, на верхней грани (1,2,6,5) уравнение все точки будут иметь z = 50, а x и y могут иметь значения от –50 до 50.

Таким образом, запись геометрической модели куба с размером ребра 100 мм и с центром в начале системы координат имеет следующий вид

; ; ; ; ; ; ; (-50<x< 50); (-50<y< 50); (-50<z< 50).

В компьютерной алгебраической модели в определенном порядке записываются числовые значения коэффициентов уравнений и числовые значения ограничения переменных.