Кинематическая модель параболоида

Модель представлена системой уравнений

x =  а  x  sin(z)

y =  b  x  cos(z)

z = -N … N

где N – некоторое значение по оси z, которым ограничивается параболоид. При равенстве a и b будет круговой параболоид, при неравных значениях будет эллиптический параболоид.

С большим шагом построения параболоид показан на рис.1.42. С малым шагом построения параболоид показан на рис.1.43.

Рис. 1.42 Рис. 1.43

Кинематическая модель цилиндра

Модель представлена системой уравнений

x = a  x  sin(z)

y = b  x  cos(z)

z = -N … N

где N – некоторое значение по оси z, которым ограничивается фигура. Значения a и b определяют размеры цилиндра по осям x и y, соответственно. При равенстве a и b будет круговой цилиндр, при неравных значениях будет эллиптический цилиндр.

С большим шагом построения цилиндр показан на рис.1.44. С малым шагом построения цилиндр показан на рис.1.45.

Рис. 1.44 Рис. 1.45

СуперПоверхности 2-го порядка

На основе использования синусо-косинусоидального способа кинематического построения поверхностей 2-го порядка возможно создание более сложных поверхностей путем введения степенного показателя для функций синуса и косинуса и, таким образом, получить класс аналитических уравнений суперповерхностей. Путем изменения значения степени (может быть целой и дробной величиной) функций синуса и косинуса поверхности 2-го порядка трансформируются в поверхности высших порядков и, если параметрическую форму уравнений приводить к алгебраической, то получим алгебраические уравнения с дробными степенями.

Все кинематические модели суперповерхностей 2-го порядка отличаются от кинематических моделей классических поверхностей 2-го порядка только наличием степенного показателя при функциях синуса и косинуса, поэтому приведем только модель суперсферы и примеры трансформации всех поверхностей 2-го порядка.

Кинематическая модель суперсферы (суперэллипсоида)

Модель представлена системой уравнений

x = (a²z²)  sin^р(80z),

y = (b²z²)  cos^р(80z),

z = N, …, N.

При p равном единице кинематическая модель суперповерхности становится кинематической моделью классической поверхности 2-го порядка. При увеличении p сфера сжимается с четырех сторон – при фронтальном рассмотрении это будет выглядеть как действие некой силы под углами в 45, 135, 225 и 315 градусов. Если же p уменьшается в диапазоне от 1 до 0, то действие этой силы изменит направление на противоположное.

Этот осуществляется за счет стягивания точек фигуры по диагональным направлениям. При устремлении p к бесконечности фигура принимает крестообразное очертание, а при p равном нулю точки поверхности «разносятся» по углам и промежуточные значения координат точек остаются незанятыми. При этом, получается что сфера теряет свою целостность. Чтобы избежать этого нежелательного эффекта, здесь применяется построение по вычисляемым координатам не примитива точки, а ломаной линии. При этом если точки будут стоять рядом друг с другом, то получаемая пространственная кривая будет плавной.

Важно заметить, что, несмотря на ощущение угловатости, суперповерхность не имеет изломов и остается плавной и непрерывной.

Рассмотрим суперповерхности при различных значениях p.

Суперсфера, построенная с крупным шагом, с показателем p равным 0, 0.5, 1, 2, 3 и 5 показана на рис.1.46 – рис.1.51 соответственно. На рис.1.52 – рис.1.54 показана суперсфера, построенная с малым шагом, с показателем p равным 0, 2, 5 соответственно.

Рис. 1.46 Рис. 1.47 Рис. 1.48

Рис. 1.49 Рис. 1.50 Рис. 1.51

Рис. 1.52 Рис. 1.53 Рис. 1.54

Остальные суперповерхности 2-го порядка построены с показателем p равным 0, 2, 3.

Однополостный супергиперболоид, построенный с крупным шагом, показан на рис.1.55 – рис.1.57 соответственно, с малым шагом показан на рис.1.58 – рис.1.60 соответственно.

Рис. 1.55 Рис. 1.56 Рис. 1.57

Рис. 1.58 Рис. 1.59 Рис. 1.60

Двуполостный супергиперболоид, построенный с крупным шагом, показан на рис.1.61 – рис.1.63 соответственно, с малым шагом показан на рис.1.64 – рис.1.66 соответственно.

Рис. 1.61 Рис. 1.62 Рис. 1.63

Рис. 1.64 Рис. 1.65 Рис. 1.66

Суперконус, построенный с крупным шагом, показан на рис.1.67 – рис.1.69 соответственно, с малым шагом показан на рис.1.70 – рис.1.72 соответственно.

Рис. 1.67 Рис. 1.68 Рис. 1.69

Рис. 1.70 Рис. 1.71 Рис. 1.72

Суперпараболоид, построенный с крупным шагом, показан на рис.1.73 – рис.1.75 соответственно, с малым шагом показан на рис.1.76 – рис.1.78 соответственно.

Рис. 1.73 Рис. 1.74 Рис. 1.75

Рис. 1.76 Рис. 1.77 Рис. 1.78

Суперцилиндр, построенный с крупным шагом, показан на рис.1.79 – рис.1.81 соответственно, с малым шагом показан на рис.1.82 – рис.1.84 соответственно.

Рис. 1.79 Рис. 1.80 Рис. 1.81

Рис. 1.82 Рис. 1.83 Рис. 1.84

В алгебраической форме система уравнений для суперповерхностей при p = 5 имеет следующий вид:

Суперсфера

Супергиперболоид