3. Задачи принятия решений в условиях неопределенности

W=W(α,x,ξ ), ξ – неизвестные факторы.

Примеры задач ИОП в условиях неопределенности:

1. Строительство участка магистрали. Сооружается участок ж/д или авто- магистрали. В нашем распоряжении определенное кол-во средств: людей, транспорта, строительных машин, ремонтных средств и т.д. Требуется спланировать строительство (очередность работ, распределить технику и людей по участкам пути, обеспечить ремонтные работы) так, чтобы завершить строительство в минимально короткий срок.

Естественным критерием эффективности было бы время завершения стройки. Однако действует ряд случайных факторов (отказы техники, задержки в выполнении отдельных работ). Поэтому критерий эффективности – это среднее ожидаемое время завершения работ:

2. Продажа сезонных товаров. Для реализации определенного количества сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать: число точек, их размещение, товарные запасы, кол-во персонала на каждой из них, так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Критерий – средняя ожидаемая прибыль от реализации товаров за сезон.

3. Снегозащита дорог. В условиях Крайнего Севера метели, заносящие снегом дороги, представляют серьезную помеху дорожному движению. Любой перерыв приводит к экономическим потерям. Существует ряд возможных способов снегозащиты (профиль дороги, защитные щиты и др.), каждый из которых требует затрат на сооружение и эксплуатацию. Известны господствующие направления ветров, данные о частоте и интенсивности снегопадов и т.д. Разработать наиболее эффективные экономически средства снегозащиты (какую дорогу, чем защищать) с учетом потерь, связанных с заносами.

Необходим наиболее выгодный экономически план снегозащиты. Критерий – средние за ед. времени (за год) расходы на содержание и эксплуатацию дорог, включая расходы по сооружению защитных конструкций, по расчистке дорог и ликвидации задержек автотранспорта .

4. Противолодочный рейд. В некотором районе морского театра военных действий находится подводная лодка противника. Группа самолетов противолодочной обороны получила задание: разыскать, обнаружить и уничтожить лодку. Требуется организовать рейд: выбрать маршруты самолетов, высоту полета, способ атаки, чтобы с максимальной уверенностью обеспечить выполнение боевого задания.

Целью (A) является обнаружение и уничтожение лодки противника. Результативность зависит от ряда случайных или неопределенных факторов — погодных условий, действий противника и т.д. В этом случае критерием эффективности является вероятность обнаружения и уничтожения лодки, которую необходимо максимизировать – P(A)->max.

Цель A – уничтожение лодки. ПЭ: вероятность уничтожения P(A)->max.

1. Вероятностная неопределенность. Основы теории вероятности.

Случайное событие – событие, которое при заданном комплексе условий может произойти или не произойти. Достоверное событие – событие, которое не может не произойти.

Вероятность события A – число P(A), характеризующее возможность появления этого события: .

Отдельные исходы испытания называют случайными событиями. Событие случайно, если заранее неизвестно - произойдет оно или нет.

Событие достоверно, если оно обязательно происходит в результате опыта: U.

Событие невозможное, если оно не может произойти в результате опыта: V.

Например, при подбрасывании монеты событие «не выпал ни орел, ни решка» является невозможным.

События A и B несовместные, если они не могут одновременно произойти в опыте.

События, которые могут одновременно произойти в опыте – совместные.

Например, событие А: выпало 2, событие B: выпало нечетное число. А и B несовместны.

Вероятность – количественная характеристика случайности, мера возможности наступления события.

Если в опыте n равновозможных исходов, из них m – благоприятствуют наступлению события, то вероятность события A:

, 0P(A)1.

Пример.

P(Орел)=P(Решка)=1/2

Подбрасывание кости: P(1)=P(2)=…=P(6)=1/6.

P(U)=1 – вероятность достоверного события

P(V)=0 – вероятность невозможного события

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу:

P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1.

Сумма вероятностей противоположных событий: .

Случайная величина – величина, принимающая в ходе испытания различные значения, предсказать появление которых в полной точности невозможно. Изучением случайных величин занимается теория вероятностей.

Пример 1. Бросание игральной кости. Случайная величина – количество очков на грани кости. Возможные значения от 1 до 6. Интуитивно ясно, что при прочих равных условиях эти числа выпадают с равной возможностью. Опыт подтверждает, что при большом количестве бросаний каждое число от 1 до 6 выпадает приблизительно одинаково часто. Это правомерно, если кость – правильный куб из однородного материала.

Пример 2. Соединение абонентов на телефонной станции за 1 минуту. В качестве случайной величины здесь рассматривается число ошибочных соединений за 1 минуту. Возможные значения – от 0 до общего числа допустимых соединений за 1 минуту. Здесь не все числа ошибочных соединений будут равно возможны. Для выяснения возможности их появления интуиции недостаточно, нужен эксперимент.

Пример 3. Взвешивание тела на точных весах. Случайные величины – результат измерения или ошибка измерения, т.е. разность между результатом и истинным значением измеряемой величины. Здесь возможные значения случайной величины заполняют некоторый непрерывный интервал. Его точные границы указать невозможно. Например, существуют допуски на вес легкового автомобиля, приблизительные задающие границы изменения этой величины. Сравнивать возможность появления тех или иных результатов здесь еще сложнее, но можно. Для этого существуют определенные закономерности.

Результаты измерения некоторой физической величины при повторении опыта в одних и тех же условиях явлений колеблются вблизи определенного значения, а значения, полученные в результате опытов редко совпадают.