2. Дискретные случайные величины (дсв)

Дискретная случайная величина задается законом распределения:

x1	x2		xn
p1	p2		pn

Вероятность P{η<x}=F(x) – функция распределения:

,

Наиболее известные законы распределения ДСВ:

• Бернулли

ξ	0	1
pi	1-p	p

• Биномиальный - используется в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача, испытания независимы, и вероятность успеха постоянна на протяжении всего эксперимента. Например, может вычислить вероятность того, что две из трех следующих деталей будут иметь дефекты.

• Пуассоновский – используется для оценки количества событий, происходящих за определенное время, например, количество машин, появляющихся на участке дороги за 1 минуту.

3. Непрерывные случайные величины (нсв)

Непрерывная случайная величина, распределенная на интервале (a,b) описывается плотностью вероятности :

Основные свойства :

1); 2)

3)

Функция распределения F(x):

Наиболее известные законы распределения НСВ:

Равномерный
Нормальный (Гаусса)
Экспоненциальный
Вейбулла

1. Статистические характеристики случайной величины

• Математическое ожидание случайной величины – это среднее ожидаемое значение случайной величины:

ДСВ:

НСВ:

• Дисперсия случайной величины – это разброс (среднеквадратическое отклонение) значений случайной величины относительно ее среднего:

ДСВ:

НСВ:

4. Проверка статистических гипотез

Статистическая гипотеза (statistical hypothesys) — это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.

Проверка статистической гипотезы (testing statistical hypothesys) — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных.

Статистический тест или статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается статистическая гипотеза.

1. Методика проверки статистических гипотез

Пусть задана случайная выборка — последовательность N значений случайной величины . Предполагается, что случайная величина распределена на интервале (a,b) по закону , т.е. (имеет закон распределения).

Методика состоит в следующем.

1. Формулируется нулевая гипотеза H₀ о распределении вероятностей на интервале (a,b). Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи.

Рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая H₀ и альтернативная H₁. Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что H₁ означает «не H₀».

В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей.

Пусть гипотеза H₀ - случайная величина распределена на интервале (a,b) по закону .

2. Задаются вероятностью a , которую называют уровнем значимости.

Решение о том, можно ли считать высказывание Н₀ справедливым для генеральной совокупности, принимается по выборочным данным, т. е. по ограниченному ряду наблюдений, следовательно, это решение может быть ошибочным. При этом может иметь место ошибка двух родов:

		Верная гипотеза
		Н0	Н1
Результат  применения  критерия	Н0	Н0 верно принята	Н0 неверно принята  (Ошибка второго рода)
	Н1	Н0 неверно отвергнута  (Ошибка первого рода)	Н0 верно отвергнута

• отвергают гипотезу H₀, или, иначе, принимают альтернативную гипотезу H₁, тогда как на самом деле гипотеза Н₀ верна ­- это ошибка первого рода;

• принимают гипотезу Н₀ , тогда как на самом деле высказывание H₀ неверно, т. е. верной является гипотеза Н₁ - это ошибка второго рода.

Уровень значимости a — это вероятность ошибки первого рода, т.е.:

- вероятность того, что будет принята гипотеза Н₁ , если на самом деле верна гипотеза Н₀.

Вероятность a задается заранее малым числом, используют некоторые стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

Например, a=0,05 означает следующее: если гипотезу Н₀ проверять по каждой из 100 выборок одинакового объема, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершим ошибку первого рода.

3. Выбирают статистический критерий такой, что:

1) значения критерия зависят от выборочных данных;

2) значения критерия позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н₀».

Однако критерий, будучи величиной случайной в силу случайности выборки, подчиняется при выполнении гипотезы Н₀ некоторому известному закону распределения.

Статистические критерии:

• Колмогорова-Смирнова

• хи-квадрат (Пирсона)

• омега-квадрат (фон Мизеса)

• Фишера

• Стьюдента

Статистический критерий согласия (Пирсона) можно применять для проверки любого закона распределения.

4. Рассчитывают значение статистического критерия и проверяют условия принадлежности доверительному интервалу:

• если , то делается вывод «данные не противоречат гипотезе Н₀ при уровне значимости α». Гипотеза принимается:

• если , то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости ». Гипотеза отвергается:

Замечание. Если данные не противоречат гипотезе Н₀, это ещё не значит, что гипотеза верна. Основные причины:

• По мере увеличения объема выборки N гипотеза Н₀ может сначала приниматься, но потом выявятся более тонкие несоответствия данных гипотезе, и она будет отвергнута. То есть, многое зависит от объёма данных - если данных не хватает, может быть принята даже самая неправдоподобная гипотеза.

• Выборка может отражать не всю информацию, содержащуюся в гипотезе Н₀. Тогда увеличивается вероятность ошибки второго рода —гипотеза Н₀ может быть принята, хотя на самом деле она не верна. Допустим, например, что Н₀ = «распределение нормально»; = «коэффициент асимметрии»; тогда выборка с любым симметричным распределением будет признана нормальной.