2. Односторонние пределы

Если , оставаясь больше (или меньше), то такие пределы называются односторонними пределами или пределами справа (слева). Стремление переменной к предельному значению слева будем записывать при стремлении справа , а сами предельные значения функции или . При или также имеем односторонние пределы: и . Сравните два предела

, .

Как указано в первом разделе: функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и . Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что функция имеет разрыв в точке . Разрывы функции имеют три типа и связаны с поведением функции слева и справа от точки разрыва.

1. Устранимый разрыв. Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, равны между собой, а функция не определена в точке :

.

2. Разрыв первого рода (скачок). Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, но они не равны между собой.

3. Разрыв второго рода. Один из пределов или оба обращаются в бесконечность или не существуют.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Пример 1. Исследовать поведение функции на границе ее области определения.

Решение. .

Определим пределы функции в граничных точках и при:

Пример 2. Исследовать поведение функции на границе ее области определения.

Решение. .

Определим пределы функции в граничных точках и при . Заметим, что каждая из точек граничной точкой является дважды. Поэтому в этих точках вычислим односторонние пределы:

3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин

В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.

Первый замечательный предел: ,

Второй замечательный предел: , или , - иррациональное число.

Сравнение бесконечно малых величин между собой определяется через предел их отношения. Пусть и бесконечно малые величины при . Правила сравнения запишем в таблицу:

	Величины одного порядка малости
	Эквивалентные величины	. Читается: эквивалентно при .
	Величина имеет больший порядок малости по сравнению с величиной	. Читается: есть - малое по сравнению с при .
не существует	Величины не сравнимы между собой

На основании замечательных пределов можно получить таблицу эквивалентных величин при .

Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.

Примеры сравнений:

.

Теорема. Пусть при . Тогда справедливы равенства:

, . ●

Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:

, .

Если при вычислении пределов с неопределенностью переменная стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной. Например:

.

Пояснения к решению примера. Подставив предельное значение в заданный пример, получили неопределенность вида , т.е. отношение бесконечно малых величин. Но таблицей воспользоваться нельзя, так как таблица справедлива только для случая, если переменная стремится к нулю. Сделаем замену переменной (замена выделена вертикальными линиями) и преобразуем выражение. Подставив новую переменную в выражение для предела, снова получаем неопределенность , но теперь мы уже могли воспользоваться таблицей эквивалентных величин, что и было сделано.

Вычисление пределов при неопределенности . Можно предложить несколько способов. Рассмотрим пример: вычислить . Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности .

Первый способ – логарифмировать заданное выражение. Обозначив заданную функцию , получаем

,

.

Следовательно, .

Второй способ ─ построение выражения в виде :

.