4. Производная функции

Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Если существует конечный предел

, (3)

то этот предел называется производной функции в точке и обозначается или .

При существовании односторонних пределов или говорят о существовании односторонних производных.

Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.

Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.

		Правила дифференцирования
const	0	. . . . . (дифференцирование сложной функции)/ . АЛГОРИТМ вычисления производных: Найти последнее действие (функцию). Применить формулы I–V. Применить таблицу производных. Замечание. Выражения , следует предварительно преобразовать по формулам: ; ; ;

Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается или . Аналогично определяются производные более высоких порядков.

Геометрический смысл производной. Пусть функция непрерывна на промежутке в окрестности точки , а график функции имеет в этой точке касательную, не параллельную оси . Тогда

, (4)

где  – угол между положительным направлением оси и касательной (рис. 1).

Рис. 1

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

. (5)

Пример 3. Найти производную функции в точке .

Решение. . .

Пример 4. Найти производную функции в точке .

Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.

Тогда .

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции 1)и определены в окрестности точки и существуют конечные производные, 2) , 3) существуют конечные производные и , причем , 4) существует предел , Тогда

. ●

Здесь приведена одна из теорем Лопиталя. Аналогичное правило вычисления предела справедливо д с неопределенностью .

Примеры вычисления пределов с помощью правила Лопиталя:

1. ,

2.,

3. .

Во втором примере мы применили правило Лопиталя 4 раза. В третьем примере правило Лопиталя не применимо, так как не существует предела производных. Нет лекарства от всех бед. Предел же легко вычисляется с использованием теорем и равен единице.

Рекомендуем запомнить пределы:

, .