- •§ 1. Внутренняя геометрия кристаллов
- •§ 2. Химические связи в кристаллах
- •§ 3. Рост кристаллов
- •§ 4. Кристаллические решетки
- •§ 5. Симметрии в двух измерениях
- •§ 6. Симметрии в трех измерениях
- •§ 7. Прочность металлов
- •§ 8. Дислокации и рост кристаллов
- •§ 9. Модель кристалла по Брэггу и Наю
- •Глава 31
- •§ 2. Преобразование компонент тензора
- •§ 3. Эллипсоид энергии
- •§ 4. Другие тензоры; тензор инерции
- •§ 5. Векторное произведение
- •§ 6. Тензор напряжений
- •§ 7. Тензоры высших рангов
- •§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса
- •§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике
- •§ 3. Волны в диэлектрике
- •§ 4. Комплексный показатель преломления
- •§ 5. Показатель преломления смеси
- •§ 6. Волны в металлах
- •§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
- •Глава 33
- •§ 2. Волны в плотных материалах
- •§ 3. Граничные условия
- •§ 4. Отраженная и преломленная волны
- •§ 5. Отражение от металлов
- •§ 6. Полное внутреннее отражение
- •Глава 34
- •§ 2. Магнитные моменты и момент количества движения
- •§ 3. Прецессия атомных магнитиков
- •§ 4. Диамагнетизм
- •§ 5. Теорема Лармора
- •§ 6. В классической физике пет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма
- •§ 7. Момент количества движения в квантовой механике
- •§ 8. Магнитная энергия атомов
- •Глава 35
- •§ 2. Опыт Штерна — Герлаха
- •§ 3. Метод молекулярных пучков Раби
- •§ 4. Парамагнетизм
- •§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием
- •§ 6. Ядерный магнитный резонанс
- •Глава 36 ферромагнетизм
- •§ 2. Поле н
- •§ 3. Кривая намагничивания
- •§ 4. Индуктивность с железным сердечником
- •§ 5. Электромагниты
- •§ 6. Спонтанная намагниченность
- •Глава 37
- •§ 2. Термодинамические свойства
- •§ 3. Петля гистерезиса
- •§ 4. Ферромагнитные материалы
- •§ 5. Необычные магнитные материалы
- •§ 2. Однородная деформация
- •§ 3. Кручение стержня; волны сдвига
- •Собирая теперь все воедино, находим
- •§ 4. Изгибание балки
- •§ 5. Продольный изгиб
- •Глава 39
- •§ 2. Тензор упругости
- •§ 3. Движения в упругом теле
- •§ 4. Неупругое поведение
- •§ 5. Вычисление упругих постоянных
- •Течение «сухой» воды
- •§ 2. Уравнение движения
- •§ 3. Стационарный поток; теорема Бернулли
- •§ 4. Циркуляция
- •§ 5. Вихревые линии
- •§ 2. Вязкий поток
- •§ 3. Число Рейнольдса
- •§ 4. Обтекание кругового цилиндра
- •§ 5. Предел пулевой вязкости
- •§ 6. Поток Куеттэ
- •2. Method of formation
- •Sir Lawrence Bragg and j. F. Nye
- •3. Grain boundaries
- •4. Dislocations
- •1. Пузырьковая модель
- •2. Способ образования пузырьков
- •3. Границы зёрен
- •4. Дислокации
Глава 39
УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ
§ 1.Тензор деформации
§ 2.Тензор упругости
§ З. Движения в упругом теле
§ 4. Неупругое поведение
§ 5. Вычисление упругих постоянных
§ 1. Тензор деформации
В предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел — компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.
Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(x, у, z), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение r'=(х', у', z'), как это показано на фиг. 39.1.
Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации перемещается в точку Р'.
Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точку Р', т. е.
u = r'-r. (39.1)
Перемещение и зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от г или от (х, у, z).
Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2).
Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.
Перемещение ux пятнышка с координатой х пропорционально самому х.
Действительно,
Мы будем записывать ux следующим образом:
иx=еххх.
Разумеется, константа пропорциональности ехх— это то же, что наше старое отношение l/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)
Если же деформация неоднородна, то связь между х и ux в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим ехх как своего рода локальную величину l/l, т. е.
Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами
Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3).
Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.
При такой деформации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:
а перемещение в направлении у пропорционально х:
uy=(/2)x. (39.5)
Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью
ux=exyy uу=eyxx,
где
Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины еxy и еyx следующим образом:
Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения uх и uy имеют вид
Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при uy стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол /2 (фиг. 39.4).
Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.
Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если дuy/дх и дux/ду равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив
Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, еху=еуx.
В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:
Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, еху всегда равно еух), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — векторы, то Сij=АiВj — тензор.) А каждое наше eij есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора
u=(uх, uу, uz) и оператора =(д/дx,д/дy,д/дz), который, как
мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x1, x2 и x3, а вместо uх, uy и uг писать u1, u2 и u3; тогда общий вид элемента тензора eij будет выглядеть так:
где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.
Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все eij — постоянные, и мы можем написать
uх=еххх+ехуy+ехzг. (39.9)
(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации eij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u=(uх, uу, uг).
Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем
где ij, — антисимметричный тензор
описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором еij.