§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_х', Е_у', Е_г' тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты _ij оказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P_x' будет линейной комбинацией Р_х, Р_y' , и Р_z':

Р_x’=аР_х+bР_у+сР_z,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р_х, Р_y и Р_z подставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится

Теперь напишите, как выражается Е_х, Е_y и E_z через Е_x' , Е_y' и Е_z' , например,

E_x = a'E_x'+b'E_y'+c'E_z' ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р_х' через компо­ненты Е_х', Е_y' и E_z' , т. е. получились новые _ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то  не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости _ij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (v_x, v_y , v_z) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости _ij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы () в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна ₀Е²/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qE_xdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qE_xNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dP_x. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

E_xdP_x.

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­кой должна быть работа в единице объема:

E•dP.

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E•dP. Обозначая ее через и_р, можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­зить Р через E. В результате получим

Плотность энергии и_р — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.

Тензор _ij на самом деле нужно называть «тензором вто­рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии u_p — тензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.

Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Матема­тики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это F_v .

Тензор поляризуемости _ij обладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. _xy=_yx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества ре­ального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:

1) включите электрическое поле в направления оси х;

2) включите поле в направлении оси у;

3) выключите x-поле;

4) выключите y-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, _xy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для _xz и т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сна­чала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Е_х, мы могли бы определить _хх, а с одной компонентой Е_y можно определить _yy . Включив обе компоненты Е_х и Е_y , мы из-за присутствия члена (_ху+_ух) получим добавочную энергию, ну а поскольку _xy и _yx равны, то этот член превращается в 2_xy и мо­жет быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Е_х и Е_y отвечают данной плотности энергии, скажем u₀. Возникает чисто математическая задача решения уравне­ния

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Е_х и Е_y , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).

Фиг. 31.2 Конец любого вектора E=(E_x, e_v) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анер­гию поляризации.

(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Е_х и Е_y представ­ляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляри­зуемости.

Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием на­правления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наи­меньшего и наибольшего диаметра и направление, перпендику­лярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.

Фиг. 31.3. Эллипсоид анергии для тензора поляризуемости.

По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет осо­бенно простую форму:

Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуе­мости останутся только три ненулевые компоненты _аа, _bb и _сс. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей ста­новится особенно простым:

Р_а =_ааЕ_а, Р_b =_bbE_b, Р_с =_ссЕ_с. (31.9)

Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.

Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэф­фициентов, взятых в скобки:

Для главных же осей а, b и с в таблице остаются только диаго­нальные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «диагональным», т. е.

Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой симметричный тензор второго ранга какого угодно числа измерений).

Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональ­ной форме равны друг другу, т. е. если

то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одинаковой, а материал изот­ропным. В тензорных обозначениях

где._ij—единичный тензор:

что, разумеется, означает

Тензор _ij часто называют также «символом Кронекера». Для забавы вы можете доказать, что тензор (31.14) после замены одной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает

т. е. получается наш старый результат для изотропного диэлек­трика:

Р=Е.

Форму и ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрии и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элемен­тарной ячейки. Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней симметрии кристалла. Например, триклинный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, не совпадают с направлением осей кристалла. Более симмет­ричный моноклинный кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180° от­носительно одной оси, поэтому тензор поляризуемости при таком повороте должен остаться тем же самым. Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180° должен перехо­дить сам в себя. Но такое может случиться только, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллипсоида могут быть какими угодно.

Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180° вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллип­соид тоже должен повторять его симметрию, т. е. два из его диаметров должны быть равны между собой. Наконец, для ку­бического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.

Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симмет­рии кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализом». Однако для простых случаев тензора поляризуемо­сти увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко.