1.4. Решение матричных уравнений
Систему n линейных уравнений с n неизвестными:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1+an2xn+…+annxn=bn
можно записать в матричной форме ( в виде матричного уравнения), если матрицу из коэффициентов при неизвестных обозначить через А, матрицу-столбец из неизвестных – через X и матрицу столбец свободных членов – через В, т.е.
А·Х=В. (1)
Пусть определитель
матрицы А не равен 0.Чтобы решить
уравнение (1), то есть найти неизвестную
матрицу Х, умножим его на А-1
слева:
А-1·А·Х= А-1·В.
Так как А-1·А=Е и ЕХ=Х, то получаем решение матричного уравнения (1) в виде
Х= А-1·В.
Таким же образом можно решать любые матричные уравнения, если соответствующие обратные матрицы существуют.
Пример. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения:
Х
=
.
Решение. Обозначим данные матрицы соответственно буквами А, В и С. В результате получим следующее матричное уравнение:
А·Х·В=С.
Предположим, что А-1 и В-1 существуют. Чтобы найти матрицу Х, умножим данное уравнение на А-1 слева:
А-1·А·Х·В= А-1·С, или Х·В= А-1·С.
Далее умножим полученное уравнение на обратную матрицу В-1 справа. В результате получаем решение:
Х= А-1·С·В-1.
Находим обратные матрицы для А и В:
,
,
А-1=
,
B-1=
Полученные обратные матрицы А-1 и В-1 подставляем в равенство:
Х= А-1.С . B-1:
Х=
А-1.С
. B-1=
=
=
=
.
Следовательно, Х=
.
Проверку можно осуществить, подставляя матрицу Х в исходное уравнение:
=
,
=
,
т.е.
=
.
Упражнения.
Записать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения и решить его:
2х1-x2-x3=4 x1+2x2+4x3=31
1.4.1. 3x1+4x2-2x3=11 1.4.2. 5x1+x2+2x3=29
3x1-2x2+4x3=11 3x1-x2+x3=10
x1+x2+x3+x4=2 2x1+x2=1
x1+2x2+3x3+4x4=3 3x1+2x2=1
1.4.3. x1+4x2+9x3+16x4=3 1.4.4. x1+х2+3x3+4x4=1
x1+8x2+27x3+64x4=-9 2x1-x2+2x3+3x4=1
Найти неизвестную матрицу Х из уравнений:
1.4.5.
Х=
1.4.6.
Х=
1.4.7.
Х
=
1.4.8.
Х=
1.4.9.
Х
=
1.4.10.Формулы
поворота осей координат на угол
имеют вид:
x2=x1cos
-y1sin
y2=x1sin
+y1cos
Найти обратные соотношения, записав систему уравнений в матричной форме и разрешив полученное уравнение относительно х1 и у1.
Найти результат последовательного выполнения двух линейных преобразований с помощью произведения соответствующих матриц:
1.4.11. x1=3y1-y2 y2=4z1+z2
x2=2y1+3y2 y2=-2z1+z2
1.4.12. z1= 2x1-x2 x1=y1+2y1
z2=x1+3x2 x2=-3y1+y2
x1=3y1-y2 y1=2z1+z2-3z3
1.4.13. x2=y1+2y2-y3 y2=z1+2z2
x3=3y2+2y3 y3=z1+4z1
z1=x1+3x3 x1=-y1+y2-y3
1.4.14. z2=2x1-x2 x2=2y1+3y2
z3=x1+x2+x3 x3=4y1
Найти линейные преобразования, обратные следующим преобразованиям:
1.4.15. x1=y1+2y2 y1=2x1+2x2+3x3
x2=3y1+4y2 1.4.6 y2=x1-x2
y3=-x1+2x2+x3
x1=y1+y3
1.4.17. x2=y2
x3=2y2+2y3