1.8. Однородные системы линейных уравнений
Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены которой равны нулю.
(1)
Очевидно, что
система однородных уравнений (1) всегда
совместна, так как имеет нулевое решение
.
Это следует также из теоремы Кронекера
- Капелли: в случае однородной системы
.
При решении системы однородных уравнений можно поставить вопрос: при каком условии однородная система (1) является неопределенной, т.е. имеет ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы система (1) имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие r(A)<n.
Действительно,
если r(A)=n,
то система имеет единственное и, значит,
только нулевое решение:
.
Если r(A)<n, то система (1) является неопределенной (несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесчисленное множество решений.
Пусть
- какое-нибудь ненулевое решение
однородной системы (1). Представим это
решение как вектор-строку
.
Тогда
тоже, очевидно, будет решением системы
(1). Далее, если
какое-то другое решение системы (1),
отличное от
,
то при любых
и
линейная комбинация
данных
решений тоже будет решением системы,
так как если
то и
.
Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (1) тоже будет ее решением.
Определение.
Линейно независимая система решений
системы (1) называется фундаментальной,
если каждое решение системы (1) является
линейной комбинацией решений
.
Теорема. Если r(A)<n, то система (1) обладает фундаментальными системами решений. Рассмотрим систему уравнений
(2)
и соответствующую ей систему однородных уравнений
(3)
Пусть 
- какое-то решение системы (2) и
любое другое ее решение, отличное от
.
Очевидно, что разность
будет решением системы (3), и если
- произвольное решение однородной
системы (3), то очевидно, что
является решением системы (2). Отсюда
следует, что все решения системы (2) можно
получить, прибавляя к одному какому-нибудь
ее решению всевозможные решения
однородной системы (3).
Таким образом,
общее решение системы (2) равно линейной
комбинации общего решения однородной
системы (3) и произвольного, но фиксированного
решения системы (2). Если
фундаментальная система решений
однородной системы (3) и
- произвольное фиксированное решение
системы (2), то общее решение системы (2)
имеет вид
,
где
- произвольные числа.
Пример. Найти фундаментальную систему однородной системы уравнений.
Решение. Решаем систему методом Жордана-Гаусса:
Общее решение имеет вид:
Решение
получим, придавая свободным неизвестным
значения
:
,
и решение
получим, полагая
:
.
Таким образом, одна из фундаментальных
систем
решений имеет вид:
,
.
Общее решение
системы можно представить в следующем
виде:
где
- произвольные числа.
Например, полагая
,
получим одно из частных решений:
.
1.9. Действия над векторами
n - мерным вектором называется упорядоченная система n чисел:
где аi
(i=1,2,...,n)
есть компоненты вектора
.
Два вектора
и
называются равными, если равны их
соответствующие компоненты (координаты):
, где
i=1,2,...,n.
Сумой двух векторов
и
называется вектор
,
компоненты которого равны суммам
соответствующих компонент
и
:
,
где i=1,2,...,n.
Аналогично определяется и разность векторов.
Чтобы вектор
умножить на постоянное число
,
необходимо каждую его компоненту
умножить на это число.
Модуль (или длина вектора) равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов соответствующих координат:
Скалярным
произведением двух векторов
и
называется произведение их длин,
умноженных на косинус угла между
векторами:
где а - угол
между векторами
и
,
Упражнения.
1.9.1.
Даны векторы
= (3, 4) и
=
(4, 3).
Найти
+
,
-
,
3
+2
,
2
-4
,
и угол между данными
векторами. Полученные ответы проверить
графически.
1.9.2. Выполнить те
же действия, что в задаче 1.9.1, над векторами
=(4, 2) и
=(1,2).
Найти скалярное
произведение векторов, угол между ними,
а также
и
:
1.9.3.
=(3,
4, 0, 2) и
=(0,
1, -2, 2).
1.9.4.
=(2,
1, 3, 1) и
=(1,
2, 0, 1).
1.9.5.
=(2,
0, 1, 3, -1) и
=(1,
1, 0, -1, 1).
1.9.6. Из склада в магазин №1 было перевезено 30 т груза по 20 коп. за тонну, в магазин №2 - 50 т по 2 коп. за тонну, в магазин №3 - 15 т по 30 коп. и в магазин №4 -100 т по 5 коп. Записать в виде векторов перевезенный груз и соответствующие ему цены перевозок. С помощью скалярного произведения найти общие затраты на перевозку.