- •Министерство образования и науки российской федерации
- •И.М. Астрахан
- •Предисловие
- •Глава I Реологические уравнения ньютоновской и неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Реология – учение о течении сплошных сред
- •§2. Классификация неньютоновских жидкостей
- •§3. Неньютоновские вязкие жидкости
- •§4. Жидкости, реологические характеристики которых зависят от времени
- •§5. Вязкоупругие жидкости
- •Глава II Дифференциальные уравнения движения вязких несжимаемых жидкостей
- •§1. Уравнения движения в напряжениях
- •§2. Уравнения движения вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости (Уравнения Навье – Стокса)
- •Глава III Точные решения уравнений движения вязких (ньютоновских и неньютоновских) жидкостей
- •§1. Ламинарное прямолинейное установившееся движение вязких жидкостей в круглых трубах
- •§2. Коэффициент гидравлического сопротивления при течении в трубах
- •§3. Вращательное движение жидкости в кольцевом зазоре
- •§4. Вискозиметрические методы определения реологических параметров жидкостей
- •§5. Пульсирующее ламинарное движение вязкой ньютоновской жидкости в круглой цилиндрической трубе
- •Глава IV Движение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§1. Уравнения движения ньютоновской жидкости при малых числах Рейнольдса
- •§2. Пространственное движение ньютоновской несжимаемой жидкости между двумя безграничными параллельными плоскостями. Закон Дарси
- •§3. Обтекание шара потоком жидкости
- •§4. Гидродинамическая теория смазки
- •§5. Нестационарное пульсирующее движение неньютоновских степенных жидкостей в трубах
- •Глава V Движение вязких жидкостей при больших числах Рейнольдса
- •§1. Понятие о пограничном слое. Уравнения ламинарного пограничного слоя в ньютоновской жидкости.
- •§2. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской пластинки. Задача Блязиуса
- •В этом случае уравнения (5.8) и (5.3) приобретают вид
- •Решение задачи Блязиуса в общем случае из уравнения неразрывности
- •Полагая
- •§3. Отрыв пограничного слоя
- •О переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный
- •§4. Приближенные методы расчета ламинарного пограничного слоя. Интегральное соотношение Кармана
- •§5. Задача о плоской ламинарной затопленной струе
- •§6. Пограничный слой в вязкопластичных жидкостях
- •Глава VI Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение турбулентности в ньютоновских и вязких неньютоновских жидкостях
- •§1. Исследования устойчивости ламинарных течений
- •§2. Устойчивость вращательного течения ньютоновских и вязкопластичных жидкостей между двумя цилиндрами
- •Литература
- •Оглавление
§3. Обтекание шара потоком жидкости
Рассмотрим задачу об установившемся обтекании шара потоком ньютоновской жидкости, имеющим на бесконечности постоянную скорость Uo при давлении .
Решение этой задачи при малых числах Рейнольдса принадлежит Стоксу. Подробное изложение метода получения решения приведено в .
Совместим центр шара с началом координат и направим ось х параллельно скорости U0, радиус шара пусть равен R. Система уравнений (4.2) и (4.3) имеет вид
, ,
. (4.10)
Граничные условия:
, , где
, , , . (4.11)
В постановке Стокса характеристики потока зависят только от следующих параметров:µ, R, U0.
Сила сопротивления шара F может выражаться только через эти величины; из них можно составить одну комбинацию с размерностью силы – произведение µ·R·U0. Следовательно, пользуясь теорией размерности получим:
, (4.12)
где с – постоянная величина.
Не входя в подробности вычислений, приведем решение системы уравнений (4.10) с граничными условиями (4.11). Получим следующие формулы для составляющих скорости и давления:
(4.13)
где .
Полное сопротивление шара F можно получить, используя полученное решение. Получим
. (4.14)
Это есть известная формула Стокса для сопротивления шара. Необходимо отметить, что сопротивление пропорционально первой степени скорости. Сравнив (4.14) и (4.12) получим, что с=6.
Полученное решение соответствует действительности только при малых значениях числа Рейнольдса <<1, где d=2R.
Представим сопротивление F как произведение коэффициента сопротивления сх на площадь поперечного сечения шара и на динамическое давление . Получим
. (4.15)
Заменив F его значением из формулы (4.14), найдем коэффициент сопротивления
(4.16)
где .
Полученное выше решение задачи об обтекании шара было уточнено Осееном. Дело в том, что на достаточно больших расстояниях от шара решение Стокса оказывается неприемлемым. Для того, чтобы убедиться в этом, оценим член , которым мы пренебрегли в уравнении (4.1). Для такой оценки обратимся к соотношениям (4.13) и рассмотрим для простоты только точки, лежащие на оси Ох, для которых х = r. На больших расстояниях . Производные же от скорости на этих расстояниях порядка величины , как это видно из (4.13). Следовательно, . Оставленные же в уравнении (4.1) члены – порядка величины (как это видно из (4.13) той же формулы для скорости или для давления). Условие >> выполняется только на расстояниях << (<<1). На больших расстояниях полученное распределение скоростей оказывается неправильным [2].
Для получения распределения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого шара следует учесть отброшенный в (4.1) член . Так как на этих расстояниях скорость мало отличается от U0, то можно написать приближенно вместо . Тогда мы получим для скорости на больших расстояниях линейное уравнение
. (4.17)
Решение этого уравнения изложено в . С помощью этого решения можно получить уточненную формулу для коэффициента сопротивления шара:
. (4.18)
Результаты опытов показывают, что формула Осеена (4.18) пригодна до Re=1,5. Уточнение Осеена оправдано вдали от шара на расстояниях r>>R. Поэтому, давая правильное уточнение картин движения на больших расстояниях от обтекаемого тела, уравнение Осеена не дает такого уточнения на близких расстояниях. Это проявляется в том, что решение Осеена не удовлетворяет точному условию обращения в нуль скорости на поверхности шара. Поэтому может показаться, что поправка Осеена не может послужить для правильного вычисления поправочного члена в силе сопротивления. Однако, поскольку мы рассматриваем движения с малыми числами Re, то как полные инерционные члены, так и заменяющие их поправочные выражения Осеена в уравнении (4.17) будут малы по сравнению с членами, происходящими от сил вязкости. Следовательно, в области, примыкающей к шару уравнения (4.17) и уравнения Стокса (4.10) являются в одинаковой мере хорошими приближениями к полной системе дифференциальных уравнений (4.1).
Формулу Стокса (4.14) или (4.16) можно применять только в случаях очень малых чисел Рейнольдса, например для дождевых капель или пыли в атмосфере, падения стальных шариков в очень вязких жидкостях.
Пользуясь формулой Стокса (4.14) при очень малых числах Re можно найти скорость осаждения мелких капель тумана и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара (4.14) результирующей сил гидростатического давления, получим формулу для скорости падения шариков малых размеров в вязкой жидкости.
(4.19)
где - плотность вещества шарика,- плотность жидкости.
Формула (4.19) используется для определения коэффициента вязкости сильно вязких ньютоновских жидкостей. Вискозиметр, основанный на принципе падения тяжелого шарика, состоит из трубки с делениями. Время падения от одного фиксированного деления трубки до другого, определяется секундомером. Найденное так значение скорости подставляют в (4.19) и определяют коэффициент динамической вязкости. При больших числах Рейнольдса полученные выше формулы становятся неудовлетворительными. Объясняется это тем, что с возрастанием числа Рейнольдса в кормовой области шара образуется отрыв и сложные нестационарные явления типа автоколебаний. Для широкого диапазона чисел Re приходится пользоваться эмпирическими данными или решать задачу численно.