7. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Исходная система представляется в виде матричного уравнения АХ=В, где А- матрица коэффициентов при неизвестных данной системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов.

Умножая матричное уравнение на обычную матрицу получим равенство: Е=; Х=

Это есть решение матричного уравнения.

4. Системы линейных уравнений. Основные определения

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi— свободными членами. Подлежат нахождению числа xn.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

AX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

— вектор-столбец из неизвестных x_j.

— вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц АХ определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных  х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

7. Решение системы линейных уравнений методом Гауса

Численное решение системы линейных уравнений с помощью определителей возможно производить только с квадратными матрицами. В случае системы производного вида используют метод Гауса. (метод исключения неизвестных). Если система имеет единственное решение, то исходная система уравнений приводится к треугольному виду в котором последнее уравнение будет содержать одну неизвестную. В случае неопределенной системы треугольного вида системы не получится так как последнее уравнение будет содержать более 1 неизвестной.

Если же система несовместна то после привидения ее к треугольному виду она будет содержать хотя бы 1 уравнение вида 0. Такая система не имеет решения. Замечание: на практике удобнее приводить к треугольному виду не саму систему, а ее матрицу.

11. Декартовые прямоугольные координаты вектора. Орты вектора

Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и произвольный вектор . Пусть Х это проекция вектора на ось х, а У – проекция вектора на ось у. проекции вектора на оси координат определяют его на плоскости и называются координатами вектора.

Для любых двух точек т. А() и т.В() координаты вектора определяются по формулам:

Х= ; У=

Замечание: в случае пространства, рассматривается прямоугольная система координат Охуz и к координатам вектора на плоскости добавляется Z=.

Разложение векторов на компоненты по ортам в пространстве:

Построим тройку векторов удовлетворяющую следующие условия:

• Начало каждого из них лежит в начале координат

• По модулю эти вектора =1

• - направлена по оси абсцисс (Ох), – ординат (Оу), - аппликат (Оz)

Если вектора удовлетворяют данные условия то они являются ортами.

Линейной комбинацией нескольких векторов называется сумма произведения этих векторов на скаляры.

Тройка называется координатным базисом, при этом разложение вектора называется разложением по базису.

=