Контрольные вопросы и задания для самопроверки

1. Какие уровни напряжения приняты за логические 0 и 1 в интегральных схемах серии К155 (ТТЛ)?

2. Как контролировать цифровые сигналы?

3. Есть ли связь, и если есть, то какая, между таблицей истинности и осциллограммами входных и выходных сигналов исследуемого ЛЭ?

4. Перечислите известные вам функционально полные наборы логических элементов.

5. Назовите известные вам способы описания работы логического элемента.

6. Объясните, каким образом, можно получить таблицу истинности неизвестного логического элемента в лаборатории.

7. Изобразите условные графические обозначения наиболее распространенных логических элементов.

8. Запишите структурную формулу для логического элемента 4И—НЕ с четырьмя входами.

9. Запишите структурную формулу для двухвходового логического элемента 2И-НЕ, на входах которого включены инверторы (ЛЭ НЕ).

10. Как, имея логические элементы 2И-НЕ и НЕ, реализовать логическую операцию И двух переменных?

Лабораторная работа № 2 синтез комбинационных схем

1. Сведения из теории

Комбинационными схемами (КС) называются схемы, выходные сигналы которых в любой момент времени однозначно определяются совокупностью (комбинацией) входных сигналов в тот же момент времени.

Синтез КС, как и любых цифровых устройств, заключается в построении на основе заданных правил ее работы (алгоритмов) структурной схемы минимальной сложности из логических элементов либо заданного базиса, либо заданной серии. Структурная схема представляет собой графическое изображение логических элементов и необходимых соединений между их входами и выходами.

В интегральной схемотехнике оценка сложности часто основывается на подсчете суммарного числа входов логических элементов, входящих в состав структурной схемы. Обычно схема с минимальным числом входов содержит и минимальное число корпусов интегральных схем.

При выборе оптимального варианта КС необходимо учитывать также ограничения, накладываемые характеристиками реальных логических элементов (нагрузочной способностью, ограничением общего числа входов, конечным временем распространения сигнала).

КС может иметь в общем случае любое число выходов. В лабораторной работе рассматривается синтез КС с одним выходом.

Синтез КС проводится в следующей последовательности:

-запись правил функционирования КС;

-запись и минимизация структурной формулы;

-запись минимизированной структурной формулы в заданном базисе;

-составление структурной схемы.

Правила функционирования КС могут быть заданы так же, как задается логическая функция: словесно, таблицей истинности, структурной формулой.

Пример словесного описания: построить КС с четырьмя входами, единичный сигнал на выходе которой будет только тогда, когда на входах будет не менее двух единичных сигналов.

Таблица истинности представляет собой таблицу, в строках которой записываются возможные комбинации (наборы) значений входных сигналов и указываются соответствующие им значения выходного сигнала. Полная таблица истинности содержит 2ⁿ строк, где n- число входов КС. Часто на ряде наборов значение выходного сигнала может быть не задано, оно для проектировщика КС не представляет интереса так, как такие наборы вообще не могут иметь места. В этом случае значения выходного сигнала считаются неопределенными (т.е. может принимать любые значения) и в таблице истинности обозначаются символом, например "Ф".

Примеры таблиц истинности, описывающих работу КС с четырьмя входами с полностью определенными значениями выходного сигнала Y и частично неопределенными Y’ приведены на рис. 1а и 1б соответственно.

Входы				Выход		Входы				Выход
X4	X3	X2	X1	Y		X4	X3	X2	X1	Y’
0	0	0	0	1		0	0	0	0	0
0	0	0	1	0		0	0	0	1	1
0	0	1	0	1		0	0	1	0	0
0	0	1	1	0		0	0	1	1	1
0	1	0	0	1		0	1	0	0	Ф
0	1	0	1	0		0	1	0	1	Ф
0	1	1	0	0		0	1	1	0	0
0	1	1	1	0		0	1	1	1	1
1	0	0	0	1		1	0	0	0	Ф
1	0	0	1	0		1	0	0	1	0
1	0	1	0	1		1	0	1	0	0
1	0	1	1	0		1	0	1	1	1
1	1	0	0	1		1	1	0	0	1
1	1	0	1	0		1	1	0	1	0
1	1	1	0	0		1	1	1	0	0
1	1	1	1	0		1	1	1	1	0

а б

Рис. 1. Примеры таблиц истинности

По таблице истинности можно легко составить структурную формулу в виде, так называемой, совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ). Для этого, прежде всего, в таблице истинности, выбираются все наборы входных сигналов, при которых сигнал на выходе равен единице. Затем выписываются конъюнкции (логические произведения), соответствующие этим наборам сигналов. При этом если в данном наборе входной сигнал X = 1, то он вписывается в соответствующую конъюнкцию без изменения, если же X = 0, то в соответствующую конъюнкцию вписывается его отрицание. Наконец все полученные конъюнкции соединяются между собой знаками дизъюнкции (логического сложения).

Например, для КС, определяемой таблицей на рис.1а, будем иметь:

Y = + Х2 + Х4 +

+ Х4 Х2 + Х3 + Х4 Х3 . (1)

Непосредственно по структурной формуле в виде СДНФ можно строить структурную схему КС. Так для приведенного примера структурная схема будет содержать инверторы для всех входных сигналов, шесть схем И на четыре входа и одну схему ИЛИ на шесть входов.

Однако в ряде случаев структурная формула в виде СДНФ может быть минимизирована (предельно упрощена) и приведена к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ). Отметим, что если условия функционирования КС заданы структурной формулой, то необходимо убедиться, что она не может быть упрощена.

Операция минимизации основана на использовании правил булевой алгебры. Наиболее часто употребительными являются правила склеивания и поглощения:

Х1 Х2 + Х1 = Х1,

Х1 + Х1 Х2 =Х1. (2)

С целью минимизации структурной формулы (1) дополним ее двумя конъюнкциями, которые уже содержаться в формуле. В результате будем иметь:

Y = + Х2 + Х4 + Х4 Х2 +

+ Х3 + + Х4 Х3 + Х4 .

Применив правило склеивания для первой, второй, третьей и четвертой пар слагаемых, получим

Y = + Х4 + + Х4 .

Еще раз, воспользовавшись тем же правилом, получим

Y = + (3)

Таким образом, структурная формула существенно упростились, и для построения КС потребуется только четыре инвертора, две двухвходовые схемы И и одна двухвходовая схема ИЛИ.

При большом числе входов КС нахождение членов СДНФ, к которым можно применить правило склеивания, является достаточно трудоемкой операцией. Поэтому для упрощения процесса минимизации разработаны специальные табличные и алгебраические методы. Наиболее употребительным табличным методом является использование карт Карно.

Карта Карно представляет собой таблицу с числом клеток 2ⁿ , где n - число входов КС. При n=2 карта Карно изображается в виде горизонтального ряда из четырех клеток либо квадрата из того же числа клеток. Если КС имеет четыре входа, то карта Карно для нее изображается в виде квадрата из 16 клеток.

Каждой клетке карты Карно соответствует один из наборов входных сигналов, т.е. одна простая конъюнкция. Соседние клетки карты отличаются друг от друга, как по горизонтали, так и по вертикали тем, что содержат два значения одного из входных сигналов в прямом и инверсном виде, т.е. 1 и 0. Порядок расположения клеток в карте Карно для четырехвходовой КС показан на рис. 2.

Д ля осуществления операции минимизации в клетки карты Карно, которым соответствуют наборы входных сигналов, дающие единичный выходной сигнал, записывается единица. Если значения выходного сигнала для некоторых наборов не определены, то в соответствующие клетки карты Карно записывается символ "ф".

Сущность минимизации состоит в том, что соседней паре клеток с единицами соответствуют склеивающиеся слагаемые структурной формулы. Иными словами, по расположению единиц в карте Карно легко выполняется процесс склеивания в структурной формуле.

Порядок минимизации структурной формулы в виде СДНФ следующий.

1. Соседние единицы в карте Карно объединяются (охватываются) контурами. Число единиц в контуре может быть равно только двум, четырем или восьми. Соседними являются не только клетки, расположенные рядом по горизонтали и вертикали, но и клетки, расположенные по горизонтали или вертикали на противоположных границах карты. Одна и та же единица может входить в несколько контуров. Число контуров должно быть минимальным и охватывать как можно больше единиц.

2. Проводятся упрощения путем исключения входных сигналов, дополняющих друг друга внутри контура (операция склеивания).

3. Записывается минимизированная структурная формула КС в виде логической суммы логических произведений входных сигналов, оставшихся в контурах после предыдущего упрощения, при этом число слагаемых равно числу контуров. Если некоторые единичные клетки карты Карно контурами не охватывается, то соответствующие им наборы входных сигналов образуют полную конъюнкцию.

П ример: минимизации структурной формулы в вид СНДФ (выражение 1), заданной таблицей истинности на рис. 1,а, показан на рис. 3

Как видно из карты Карно для рассматриваемого примера, можно образовать два контура, содержащих по четыре единицы. Первый контур образован клетками, находящимися в углах карты, второй - клетками, находящимися в левом крайнем столбце.

Первый контур дает возможность исключить Х2 и X4, поскольку они входят в него в прямом и инверсном виде, второй - ХЗ и Х4, так как они тоже входят в контур в прямом и инверсном виде. В результате от первого контура остается конъюнкция вида , от второго - .

Таким образом, минимизированная структурная формула имеет вид

Y= + ,

что совпадает с (3).

Е сли на некоторых наборах входных сигналов значение выходного сигнала не определено, то клетки карты Карно на этих наборах можно считать при минимизации либо единичными, либо нулевыми. Пример минимизации не полностью определенной КС, заданной таблицей истинности на рис. 1,б, показан на рис. 4.

В рассматриваемом случае с целью упрощения структурной формулы неопределенные значения выходных сигналов удобно принять за единицы. В результате можно образовать три контура и минимизированную структурную формулу записать в виде:

Y = Х3 + Х1 + Х2 Х1.

Полученные таким образом минимизированные структурные формулы представлены в базисе И, ИЛИ, НЕ. Для перехода в другие базисы обычно используют формулы де Моргана:

= , (4)

= + . (5)

Так для КС, описываемой структурной формулой (3), при переходе к базису И-НЕ на основании (4) будем иметь:

Y =

Таким образом, для построения КС необходимо иметь три инвертора и три двухвходовых схемы И-НЕ. Структурная схема, реализующая данную КС, приведена на рис. 5, на котором инверторы выполнены на основе двухвходовых схем И-НЕ

Рис. 5. Структурная схема КС в базисе И-НЕ

Для перехода в базис ИЛИ-НЕ воспользуемся выражением (5):

Структурная схема КС в базисе ИЛИ-НЕ приведена на рис. 6

Р ис. 6. Структурная схема КС в базисе ИЛИ-НЕ

Упрощение структурных формул с помощью карт Карно применяется также при числе входов равном пяти. В этом случае, как правило, используют две карты Карно по 16 клеток каждая.