3. Введение в математический анализ
1) В задачах 1-30 найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
7.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
8.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
9.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
10.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
11.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
12.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
13.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
14.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
15.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
16.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
17.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
18.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
19.
а)
б)
в)
г)
20.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
21.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
22.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
23.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
24.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
25.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
26.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
27.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
28.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
29.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
30.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3) В задачах 1-30 функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1) В задачах 1-30 найти производную функции.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
2) В задачах 1-30 найти производную параметрически заданной функции:
|
1.
|
2.
|
|
3.
|
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
|
9.
|
10.
|
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
|
27.
|
28.
|
|
|
|
|
29.
|
30.
|
3) В задачах 1-30 найти производную заданной функции, пользуясь логарифмическим дифференцированием:
|
1. |
2. |
3. |
|
4. |
5. |
6. |
|
7. |
8. |
9. |
|
10. |
11. |
12. |
|
13. |
14. |
15. |
|
16. |
17. |
18. |
|
19. |
20. |
21. |
|
22. |
23. |
24. |
|
25. |
26. |
27. |
|
28. |
29. |
30. |
4) В задачах 1-30 исследовать методами дифференциального исчисления функцию, и, используя результаты исследования, построить ее график:
|
1.
|
2.
|
3.
|
|
4.
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
9.
|
|
10.
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
15.
|
|
16.
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
21.
|
|
22.
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
27.
|
|
28.
|
29.
|
30.
|
5) В задачах 1-30 применить понятие производной функции:
1. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V, цилиндрической формы. Какова должна быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
2. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
3. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
5. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
6. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
8.
В точках А
и Б
находятся источники, сила света которых
соответственно равна F
и F
.
Расстояние между точками a.
На отрезке АБ
найти наименее освещенную точку М.
Замечание.
Освещенность точки источником света
силой F
обратно пропорциональна квадрату
расстояния r
ее от источника света:
9. Из круглого бревна, диаметр которого d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
Замечание.
Сопротивление балки на изгиб пропорционально
произведению ширины x
ее поперечного сечения на квадрат его
высоты у:
10.
Требуется изготовить открытый
цилиндрический бак данного объема V.
Стоимость квадратного метра материала,
идущего на изготовление дна бака, равна
p
руб., а стенок - p
руб. Каковы должны быть радиус дна и
высота бака, чтобы затраты на материал
для его изготовления были наименьшими?
Указание.
Рекомендуется
принять за аргумент отношение
радиуса r
дна бака к его высоте
.
В
задачах 11-30. составить уравнение нормали
(в вариантах 11-22) или уравнение касательной
(в вариантах 23-30) к данной кривой в точке
с абсциссой х
.
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
|
27.
|
28.
|
|
29.
|
30.
|
,
