- •31. Свойства вероятностей. Условные вероятности.
- •32. Вероятность суммы. Формулы полной вероятности.
- •33. Формула Байеса. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- •34. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •35. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •36. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •37. Непрерывная случайная величина. Интегральная и дифференциальная функция распределения.
- •38. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •39. Законы распределения случайных величин.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрический закон распределения.
- •40. Генеральная совокупность и выборка.
37. Непрерывная случайная величина. Интегральная и дифференциальная функция распределения.
Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом.
Пусть X – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (a; b) и x – действительное число. Под выражением X < x понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее x». Вероятность этого события P(X < x) есть некоторая функция переменной x.
Определение. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция , равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее x:
(1)
Функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.
Свойства интегральной функцией распределения .
-
(эта функция есть вероятность).
-
- неубывающая функция.
-
Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (a; b):
-
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
-
Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:
-
Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b), то
-
при ,
-
при .
-
Следствие. , .
Определение. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция , равная производной интегральной функции:
(2)
Так как - неубывающая функция, то .
Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервале (a; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от a до b:
(3)
Из (3) следует, что геометрически вероятность представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b.
Следствие. В частности, если - четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
На основании формулы Ньютона-Лейбница можно записать , откуда, в силу следствия 1, можно записать: (4).
Верно также равенство: (5).
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X
.
Требуется найти коэффициент A, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1).
Коэффициент A найдем, воспользовавшись соотношением (5).
Так как , откуда .
Применяя формулу (4), получаем функцию распределения .
Наконец, на основании 3 и 5 свойств, с учетом найденной функции F(x) получим
.
38. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности называют величину несобственного интеграла (если он сходится):
(1)
Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.
-
Математическое ожидание постоянной величины C равно этой величине.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .
-
Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y) = M(X) + M(Y).
-
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X) M(Y).
-
Математическое ожидание разности – двух случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий: M(X–Y) = M(X) – M(Y).
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическим ожиданием которой и функция является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
(2)
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Для непрерывной случайной величины X среднее квадратическое отклонение определяется, как и для дискретной величины, формулой .
Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
-
Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:
-
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
-
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
-
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
Пример. Случайная величина X задана плотностью вероятности. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.
,