39. Законы распределения случайных величин.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.

1. Равномерное распределение.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей все свои значения из отрезка , называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, в вне его равна нулю, т.е.

, откуда .

,

Для дискретной случайной величины X характеристики равномерного закона распределения будут равны:

, .

2. Закон нормального распределения.

Определение. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если ее дифференциальная функция определяется формулой

, , .

Для нормального распределения верно следующее уравнение.

, где - функция Лапласа.

В практике часто используют следующую формулу: .

3. Биномиальное распределение.

Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний. Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p, то вероятность его ненаступления равна q = 1 – p.

Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз ().

Для биноминального распределения справедлива формула:

.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Обозначим через X случайную величину, равную числу появления события A в n испытаниях. Понятно, что событие A может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. Следовательно, возможными значениями величины X будут числа 0, 1, …, n-1, n. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

X	0	1	…	m	…	n
p			…		…

Построенный закон распределения дискретной случайной величины X называют законом биномиального распределения.

Характеристики биномиального распределения:

, ,

4. Распределение Пуассона.

Пусть производится серия n независимых испытаний (n = 1, 2, 3, …), причем вероятность появления данного события A в этой серии зависит от ее номера n и стремится к нулю при (последовательность «редких событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений событий A постоянно, т.е. .

Отсюда .

Исходя из формулы Бернулли, для вероятности появления A в n-серии ровно m раз имеем выражение

Пусть m зафиксировано. Тогда

(по второму замечательному предела).

Поэтому .

Если n велико, то в силу определения предела вероятность сколь угодно мало отличается от . Отсюда при больших n для искомой вероятности имеем приближенную формулу Пуассона

, где .

Определение. Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если эта величина задана таблицей:

X	0	1	2	3	…
p					…

Здесь - фиксированное положительное число.

.

Можно показать, что