5. Сходимость метода конечных элементов
Построим таблицу зависимости исследуемой величины от числа степеней свободы (NDOF) и от количества разбиений (Nt) по временному отрезку КЭ модели для элемента PLANE55. В качестве данных для анализа сходимости будем использовать температуру в точке (0.0125; 0), т.е. в точке, принадлежащей одной из исследуемых линий для момента времени t = ts = 150 с. В скобках для выбранного числа степеней свободы указано количество узлов сетки по горизонтали и вертикали соответственно.
|
NDOF |
Nt = 900 |
|
|
T, °C (xp = a/2) |
δ, % |
|
|
15 (5*3) |
0.822596E-01 |
10.7703 |
|
45 (9*5) |
0.770440E-01 |
4.7298 |
|
91 (13*7) |
0.761100E-01 |
3.5606 |
|
153 (17*9) |
0.757854E-01 |
3.1476 |
|
231 (21*11) |
0.756355E-01 |
2.9556 |
|
561 (33*17) |
0.754735E-01 |
2.7473 |
|
1225 (49*25) |
0.754159E-01 |
2.6730 |
|
Аналитически |
0.0734 |
|
|
Nt |
NDOF = 231 |
|
|
T, °C (xp = a/2) |
δ, % |
|
|
150 |
0.859309E-01 |
14.5825 |
|
300 |
0.796577E-01 |
7.8557 |
|
600 |
0.766292E-01 |
4.2141 |
|
900 |
0.756355E-01 |
2.9556 |
|
1200 |
0.751417E-01 |
2.3179 |
|
1500 |
0.748464E-01 |
1.9325 |
|
Аналитически |
0.0734 |
|
Соответствующие графики сходимостей в зависимости от числа степеней свободы (NDOF) и разбиений по оси времени (Nt):
Из построенных графиков видно, что с увеличением количества степеней свободы или количества разбиений выбранного временного отрезка, решение при помощи КЭ сходится в рассмотренной точке, однако всё же отстоит от аналитического на некоторую малую величину. Снизить эту погрешность позволит, главным образом, уменьшение временного шага.
6. Сравнение аналитического решения с результатами численного эксперимента
Построим сравнительную таблицу значений температуры, полученных аналитически и численно (для сетки, заполненной элементами PLANE55, с 231 степенью свободы и для 900 разбиений на выбранном отрезке времени) для узлов сетки в заданных сечениях прямоугольника: xp = 0 и xp = a/2, также оценим погрешность δ численного метода в исследуемых точках.
|
t, с |
T, °C (xp = 0) |
T, °C (xp = a/2) |
|||||
|
MatLab |
ANSYS |
δ, % |
MatLab |
ANSYS |
δ, % |
||
|
0 |
100.0000 |
100.0000 |
0 |
75.0000 |
75.0000 |
0 |
|
|
10.0000 |
65.0829 |
65.2025 |
0.1834 |
46.1065 |
46.2054 |
0.2140 |
|
|
20.0000 |
41.1182 |
41.2818 |
0.3963 |
29.0763 |
29.1925 |
0.3980 |
|
|
30.0000 |
25.9547 |
26.1101 |
0.5952 |
18.3527 |
18.4626 |
0.5953 |
|
|
40.0000 |
16.3828 |
16.5137 |
0.7927 |
11.5844 |
11.6770 |
0.7930 |
|
|
50.0000 |
10.3409 |
10.4443 |
0.9900 |
7.3121 |
7.38526 |
0.9906 |
|
|
60.0000 |
6.5273 |
6.60566 |
1.1863 |
4.6155 |
4.67091 |
1.1863 |
|
|
70.0000 |
4.1201 |
4.17785 |
1.3823 |
2.9133 |
2.95418 |
1.3838 |
|
|
80.0000 |
2.6006 |
2.64234 |
1.5797 |
1.8389 |
1.86842 |
1.5799 |
|
|
90.0000 |
1.6415 |
1.67119 |
1.7766 |
1.1607 |
1.18171 |
1.7779 |
|
|
100.0000 |
1.0361 |
1.05697 |
1.9745 |
0.7327 |
0.747387 |
1.9651 |
|
|
110.0000 |
0.6540 |
0.668493 |
2.1680 |
0.4625 |
0.472696 |
2.1570 |
|
|
120.0000 |
0.4128 |
0.422798 |
2.3647 |
0.2919 |
0.298963 |
2.3625 |
|
|
130.0000 |
0.2606 |
0.267405 |
2.5448 |
0.1843 |
0.189084 |
2.5301 |
|
|
140.0000 |
0.1645 |
0.169124 |
2.7341 |
0.1163 |
0.119589 |
2.7503 |
|
|
150.0000 |
0.1038 |
0.106965 |
2.9589 |
0.0734 |
0.756355E-01 |
2.9556 |
|
При помощи MatLab построим соответствующие сравнительные графики:
С учетом масштабирования, в выбранной постановке задачи графики для численного и аналитического решения практически накладываются друг на друга.
Анализ таблицы позволяет сказать, что погрешность в искомых узлах накапливается с течением времени и достигает своего максимального значения в момент времени ts, когда решение устанавливается. Чтобы повысить точность результатов, необходимо увеличить количество разбиений по оси времени (см. сравнительные таблицы в п. 5).
Как возможный вариант, в постановке задачи в качестве элемента модели выбрать схему с аппроксимацией температуры полиномом более высокого порядка (например, PLANE77).
В остальном, искомые результаты для численного и аналитического метода решения совпадают между собой с неплохой степенью точности.