- •1. Темы контрольных работ
- •Тема 1. Математический анализ
- •Тема 2. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 3. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 4. Экономико-математические методы (детерминированные модели)
- •Тема 5. Экономико-математические методы (стохастические модели).
- •2. Методические указания к контрольной работе
- •Тема 1. Математический анализ
- •1) Вычислить интеграл.
- •Тема 2. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •2). Вычислить его периметр.
- •4. Решить однородную систему (с проверкой); предварительно вычислить главный определитель системы.
- •Тема 3. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 4. Экономико-математические методы (детерминированные модели)
- •Тема 5. Экономико-математические методы (стохастические модели)
Тема 4. Экономико-математические методы (детерминированные модели)
Пример 1. Максимизировать целевую функцию L при заданных линейных ограничениях
1.1 L= 2x1 +2x2 при 3x1 + 2x2 6 ; x1 0 ; x2 0 .
1.2 L= 2x1 +3x2 при 3x1 + x2 6 ; x1 0 ; x2 0 .
1.3 L= 3x1 +2x2 при 2x1 + 3x2 6 ; x1 0 ; x2 0
.
1.4 L= 3x1 +3x2 при x1 + 2x2 6 ; x1 0 ; x2 0 .
1.5 L= x1 + x2 при 3x1 + 2x2 3 ; x1 0 ; x2 0 .
1.6 L= 4x1 +2x2 при 3x1 + 2x2 2 ; x1 0 ; x2 0 .
1.7 L= 2x1 +4x2 при x1 + x2 6 ; x1 0 ; x2 0 .
1.8 L= x1 +2x2 при x1 + 2x2 4 ; x1 0 ; x2 0 .
1.9 L= 2x1 +x2 при 2x1 + 2x2 5 ; x1 0 ; x2 0 .
1.10 L=4x1 +3x2 при 4x1 + 2x2 5 ; x1 0 ; x2 0 .
Пример 2. Найти критическое время выполнения комплекса работ, представленного сетевым графом. Вычислить резервы времени для работ, не лежащих на критическом пути. Продолжительность работ равны:
2.1. а01 = 2 , а02=4 , а12=5, а13=4 , а23=6, а34=4, а35=5, а45=7, а46=7, а56=4
2.2. а01 = 2 , а02=3 , а12=2, а13=6 , а23=3, а34=4, а35=5, а45=7, а46=7, а56=8
2.3. а01 = 2 , а02=5 , а12=7, а13=4 , а23=4, а34=6, а35=8, а45=4, а46=7, а56=4
2.4. а01 = 2 , а02=4 , а12=5, а13=4 , а23=6, а34=4, а35=5, а45=7, а46=7, а56=6
2.5. а01 = 2 , а02=4 , а12=3, а13=4 , а23=6, а34=4, а35=5, а45=7, а46=7, а56=4
2.6. а01 = 2 , а02=6 , а12=1, а13=4 , а23=8, а34=2, а35=5, а45=4, а46=7, а56=5
2.7. а01 = 2 , а02=8 , а12=8, а13=4 , а23=5, а34=4, а35=5, а45=8, а46=7, а56=3
2.8. а01 =6 , а02=4 , а12=3, а13=4 , а23=6, а34=7, а35=5, а45=7, а46=7, а56=7
2.9. а01 =5 , а02=3 , а12=9, а13=8 , а23=6, а34=4, а35=5, а45=9, а46=7, а56=8
2.10. а01 = 2 , а02=5 , а12=3, а13=5 , а23=6, а34=3, а35=5, а45=4, а46=7, а56=6
4
1
6
0
2
3
5
Тема 5. Экономико-математические методы (стохастические модели).
Пример 1. В бюро обслуживания в среднем поступает а заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что:
1) за 1 минуту не поступит ни одного заказа;
2) за 10 минут поступит не более трех заказов. Выбрать а, исходя из номера варианта.
1.1. а=4; 1.2. a =5; 1.3 a=6; 1.4. a =7; 1.5. a =8; 1.6. a =9; 1.7. a =10; 1.8. a =14; 1.9. a =15; 1.10. a =16.
Пример 2. Пусть игра определяется платежной матрицей. Найти нижнюю и верхнюю цену игры.
2.1. 2.2 2.3 2.4 2.5
2.6. 2.7 2.8 2.9 2.10
2. Методические указания к контрольной работе
Методические указания содержат примеры решений всех задач контрольной работы.
Тема 1. Математический анализ
Пример1. Дана функции y=. Требуется:
1) Найти производные первого и второго порядка.
2) Исследовать функцию, построить ее график.
Решение.
1)Достаточно знать таблицу производных основных элементарных функций и основные правила дифференцирования.
, .
2). Дана функции у=. Исследовать функцию, построить график.
Для решения следует применить общую схему исследования функции.
1) Область определения: D(y)=(
2)Точки пересечения с осями: с осью ОХ: 3х-1=0 х= , c осью ОУ: у(0)=1.
3)Характер монотонности: функция возрастает на всей области определения, поскольку Точки экстремума и экстремумы: точек экстремума и экстремумов нет, поскольку функция возрастает.
4)Асимптоты графика функции:
а) вертикальная асимптота: х=-0,5, поскольку =
б) горизонтальная асимптота: у=1,5 поскольку =
График функции: строят, исходя из свойств функции.Отметим, то графиком дробно-линейной функции является гипербола.
Пример 2. Дана функция .
Требуется: 1).Найти частные производные первого и второго порядка функции.
2) Исследовать на экстремум.
3) Исследовать функцию на условный экстремум при условии: х+у=1.
Решение. 1). Для нахождения частных производных первого порядка функции двух независимых переменных вторую переменную следует считать постоянной величиной. =2х-2у, =-2х+1, =2, =0, =-2.
2). Для исследования на экстремум сначала следует найти стационарные точки функции из условия . Для данной функции имеем
откуда х=0.5 у=0,5 – стационарная точка. Далее исследуем стационарную точку. Вычисляем в стационарной точке. В данном примере
. Поскольку , то в стационарной точке экстремума нет.
3). Для исследования на условный экстремум из условия х+у=1 выразим у=1-х и, подставив у в исходную функцию, исследуем на экстремум функцию одной переменной
z(x)=
Найдем и приравняем ее к нулю: 6x-3=0, откуда получим, что условный минимум функции достигается в точке х=0,5 у=0,5 и равен
zmin=3 0,25-3 0,5+1=0,25
Пример 3. Найти интеграл
Решение. =-4х+ln+C
Пример 4.