Тема 4. Экономико-математические методы (детерминированные модели)

Пример 1. Максимизировать целевую функцию L при заданных линейных ограничениях

L= 2x₁ +x₂ при 2x₁ + 3x₂ 12 ; x₁ 0 ; x₂ 0 .

Решение.

Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений по уравнениям прямых.

Областью допустимых решений является треугольник ОАВ. Доказано, что целевая функция может достигать максимального или минимального значений только в вершинах области допустимых решений. Построим вектор С(2; 1). Тогда опорная прямая , перпендикулярная вектору С, при выходе из треугольника решений пройдет через точку А (6,0), а потому в точке А целевая функция L принимает максимальное значение L_max= 26 + 50= 12 при x=6 ,y=0

у

В(0,4)

С(2,1)

А(6,0)

0. х

Пример 2. Найти критическое время выполнения комплекса работ, представленного сетевым графом. В качестве иллюстрации рассмотрим работы, связанные с постройкой жилого дома. Введем в рассмотрение следующие работы: 01- строительство подъездных путей; 02- рытье котлована; 12- завоз строительных материалов; 13- подвод коммуникаций; 23- строительство фундамента и стен; 34- строительство крыши; 35- остекление; 45- внутренняя отделка; 46- благоустройство территории; 56- установка внутреннего оборудования. Над каждой работой указано время ее выполнения.

Решение. Расчет показывает, что в критический путь входят работы: а_01, а_12, а_23, а_34, а_45, а₅₆ и его продолжительность равна: Т=2+5+4+5+2+6=24

4

4

1

3 5

2

6

5 2

0

2

3

5

3 4 3 6

Работы, не лежащие на критическом пути имеют резервы времени, то есть время их выполнения можно увеличить без увеличения критического времени. Работа 01 имеет резерв времени равный 2+5-3=4; работа 13 имеет резерв времени равный 5+4-3=6; работа 35 имеет резерв времени, равный 5+2-3=4: работа 46 имеет резерв времени, равный 2+6-4=4.

Тема 5. Экономико-математические методы (стохастические модели)

Пример 1. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что:

1) За 1 минуту не поступит ни одного заказа;

2) За 10 минут поступит не более трех заказов.

Решение. Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

1) Далее находим вероятность того, что за время t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

0,819

2) Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

0,8571

Пример 2. Пусть игра определяется платежной матрицей. Найти нижнюю и верхнюю цену игры

R =,

Решение.

V₁ = max = 6 - нижняя цена игры;

V₂ = min [ 6, 6, 8, 10 ] = 6- верхняя цена игры.