19. Следствия из преобразований Лоренца
1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x1 и x2 в один и тот же момент вр емени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x'1 и x'2 в разные моменты времени t'1 и t'2:
Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.
2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсче та между этими же событиями проходит время
Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.
3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина
Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциа льные системы отсчета.
4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (vx, vy, vz), то его скорос ть v' = (v'x, v'y, v'z) в другой системе отсчета равна
или в трехмерной векторной форме
5. Из соотношени (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии
v2=(vx)2+(vy) 2+(vz) 2=c2, (n6)
получим
v'2=(v'x)2+ (v'y)2+(v'z) 2=c2. (n7)
Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.
20. Ньютоновское выражение для импульса или . Вот это выражение надо сделать инвариантным. Это возможно, если в него будут входить инвариантные величины. В выражении
|
(8.5.1) |
|
m – постоянная величина – масса частицы в системе k (собственная масса частицы), инвариантная величина; dt – интервал времени по часам неподвижного наблюдателя. Если заменить dt на – собственное время частицы, тоже инвариантная величина, то получим инвариантное выражение для импульса .
Преобразуем это выражение с учетом того, что :
|
или . |
|
|
21. 1 постулат Эйнштейна или принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению ко всем инерциальным системам отсчета. Все физические, химические, биологические явления протекают во всех инерциальных системах отсчета одинаково.
2 постулат или принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме постоянна и одинакова по отношении» к любым инерциальным системам отсчета. Она не зависит ни от скорости источника света, ни от скорости его приемника. Ни один материальный объект не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Более того, пи одна частица вещества, т.е. частица с массой покоя, отличной от нуля, не может достичь скорости света в вакууме, с такой скоростью могут двигаться лишь полевые частицы, т.е. частицы с массой покоя, равной нулю.
Итак, перед нами - знаменитый «эйнштейновский поезд», движущийся с релятивистской скоростью. Есть два наблюдателя. Один находится в середине самого поезда, другой – на станции. Все организовано таким образом, что в тот момент, когда проводники поравняются друг с другом, они принимают одновременно два световых сигнала, выпущенных ранее с двух концов поезда. После этого каждый из них делает свои выводы о соотношении моментов посылки этих сигналов.
С наблюдателем, находящимся в середине поезда, все просто: оба сигнала, по его мнению, преодолели одинаковые расстояния (половину длины поезда), пришли к нему одновременно, значит, считает он, и выпущены были тоже одновременно.
Сложнее с наблюдателем на станции. Прежде всего, он понимает, что в моменты выпуска сигналов середина поезда была от него еще на некотором расстоянии. Таким образом, голова поезда была к нему ближе, чем хвост. Световой сигнал от хвоста в итоге преодолел большее расстояние, затратил на свой путь соответственно больший промежуток времени, следовательно, должен был быть выпущен раньше, чем от головы.
22. Преобразования Лоренца - преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся прямолинейно с постоянной скоростью v. Преобразования Лоренца отражают равноправие всех инерциальных систем отсчёта в описании законов природы. Если инерциальная система отсчёта K' движется относительно инерциальной системы отсчёта K с постоянной скоростью v вдоль оси x, то преобразования Лоренца имеют вид
y = y', z = z', |
(1) |
c - скорость света в вакууме, β = v/c. Формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.
Рис. Система координат K' движется относительно неподвижной системы координат K со скоростью v вдоль оси x. |
При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея
x = x' + vt, y = y', z = z', t = t'.
Из преобразований Лоренца следует, что промежутки времени Δt и отрезки длины Δl зависят от движения системы отсчёта. Если в системе K' два события, происходящие в одном и том же месте, разделены интервалом времени Δt', то в системе K эти же происходящие в разных местах события разделены промежутком времени Δt
Если отрезок, покоящийся в системе K', имеет длину Δl', то его длина Δl в системе K, т.е. расстояние между двумя одновременными в K событиями регистрации положения концов отрезка, принимает значение
Поперечные размеры тел при этом не изменяются. Формулы преобразования скорости:
Электрическое поле E и магнитное поле H при преобразовании Лоренца преобразуются следующим образом:
Координаты 4-мерного вектора энергии-импульса с компонентами (ε/c, px, py, pz) при преобразовании Лоренца преобразуются следующим образом:
Энергия частицы
Импульс частицы
Преобразования Лоренца, указывающие на относительность промежутков времени и отрезков длины между двумя событиями, оставляют инвариантной, т.е. не зависящей от выбора системы отсчёта, их комбинацию, называемую интервалом.
Инвариантом при преобразовании Лоренца является также квадрат 4-вектора энергии-импульса
24. Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину
25.
Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки
а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя".
Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности А. Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся релятивистской частицы (а также тела и вообще любой системы частиц) выполняются следующие соотношения:
где E, , , m — энергия, импульс, скорость и масса покоя частицы соответственно, c — скорость света. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда обращаются в нуль скорость и импульс массивного тела, его энергия в нуль не обращается, оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:
Эта величина носит название энергии покоя, и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. Таким образом, Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии, тем самым законы сохранения массы и энергии были объединены в один закон сохранения
23. соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем
так что имеем формулу