2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.

Поставим задачу – найти координаты вектора , если M₁(x₁ ,y₁ ,z₁) – начало и M₂(x₂ ,y₂ ,z₂) - конец данного вектора (рис.2.5)

Рис. 2.5. Определение координат вектора

Соединим точки M₁ и M₂ с началом координат 0 и между собой. Рас-смотрим векторы и . Согласно правилу вычитания век-торов имеем = - .Так как координаты радиус-векторов

и соответственно равны и , то (согласно предложению 3) вектор имеет координаты .

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 4. Если заданы координаты начала и конца вектора, то, чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующих координат его конца вычесть координаты его начала.

3. Расстояние между двумя точками .

Пусть заданы в пространстве своими координатами в прямоугольной системе координат две точки M₁(x₁ ,y₁ ,z₁) и M₂(x₂ ,y₂ ,z₂) (рис.2.5). Найти расстояние d между ними – это значит найти длину вектора (или ), координаты которого согласно теореме 4 равны (или ). Следовательно

.

Отсюда правило: расстояние между двумя точками равно корню квад-ратному из суммы квадратов разностей одноименных координат данных точек.

Если имеем единичный вектор то его длина ,

откуда =1, (11) т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна едини-це.

Пример 3. Даны радиусы-векторы вершин ∆АВС : ; ; . Показать, что АВС рав-носторонний.

Решение . 1) Координаты данных радиус-векторов определяют коорди-наты соответствующих точек А(1;2;3), В(3;2;1),С(1;4;1) .

2) Определим расстояния между этими точками, т.е. длины сторон ∆АВС :

(ед.);

(ед.);

(ед.).

Вывод : ∆АВС - равносторонний.

4. Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки А(x₁ ,y₁ ,z₁) и В(x₂ ,y₂ ,z₂). Требуется на отрезке АВ найти точку M(x ,y ,z) , делящую этот отрезок в отношении .

Если искомая точка М лежит между точками А и В , то такое деление от-резка АВ называется внутренним и λ в этом случае положительно (λ > 0). Если точка М¹ будет находится вне отрезка АВ (лежать на его продолжении), то такое деление называется внешним , а λ при этом отрицательно (λ < 0).

Найдем сначала решение этой задачи в векторной форме .

Имеем (рис.2.6)

Рис. 2.6. К определению отношения

Требуется определить радиус-вектор точки М так, чтобы .

Так как и , необходимое условие можно переписать в виде , откуда

(12)

Решение поставленной задачи в координатной форме (в координатах) запишется в виде

(13)

Такой вид формул получен на основе линейных действий над векторами в координатной системе (предложения 1 и 2).

Формулы (13) называются формулами деления отрезка в заданном от-ношении .

При λ = 1 точка М делит отрезок АВ пополам и формулы (13) примут вид

(14) т.е. координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих коор-динат его концов.