4. Действия с линейными операторами
Обозначим через L множество всех линейных операторов, действую-щих в линейном пространстве R . В этом множестве введем действия (опе-рации) сложения линейных операторов, умножения линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов.
1. Суммой двух
линейных операторов
называется оператор
,
определяемый формулой
.
При этом матрица «суммарного» оператора равна сумме матриц сла-гаемых операторов, т.е. А + В .
2. Произведение
линейного оператора
на действительное число λ называется
оператор
,
действующий согласно формуле
,
а матрица такого оператора есть
произведение мат-рицы А
на число λ
.
3. Произведением
линейных операторов
и
есть результат после-довательного
выполнения операторов
и
и обозначают
(оператор, действующий первым, пишется
в произведении справа). Матрица
произве-дения операторов
представляет собой произведение
соответствующих матриц ВА.
Произведение
линейных операторов так же , как и
произведение их матриц зависит от
порядка сомножителей, т.е.
.
Операторы
и
считаются равными, если для любого
вектора
его образы при действии этих операторов
равны, т.е. если
.
Равные линейные операторы в одном и том
же базисе имеют одинаковые матрицы.
Введем также понятие обратного оператора и его матрицы. Пусть в
пространстве R
действует
линейный оператор
,
заданный в некотором базисе матрицей
А
. Положим, что эта матрица квадратная и
не особенная (невырожденная), т.е. имеет
обратную матрицу
.
Пусть оператор
каждому вектору
составляет некоторый век-тор
, т.е.
.
Соответствующее линейное преобразование
пред-ставим в матричной форме
.
Умножая слева
последнее равенство на матрицу
,
получим
Если обратной
матрице
сопоставить оператор
,
то его приме-нение:
позволяет выразить координаты вектора
через коорди-наты
.
Такое преобразование
также является линейным и называется
обрат-ным оператором, т.е. оператором,
обратным к оператору
.
Вполне очеви-дно, что операторы
и
взаимно обратны один к другому. При этом
для произведения
операторов
и
обратным является оператор
.
31.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.