- •Струков Валерий Григорьевич надежность механического оборудования
- •Введение
- •1. Понятия и термины теории надежности. Государственный стандарт на показатели надежности
- •1.1. Термины надежности машин
- •1.2. Показатели надежности машин
- •1.3. Наработка
- •1.4. Основные показатели долговечности
- •2. Математические методы теории надежности
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Теоремы теории вероятностей
- •2.3. Законы распределения случайной величины
- •3.1.1. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины
- •3.1.2. Дополнение интегральной функции распределения вероятностей случайной величины
- •3.1.3. Свойства интегральной функции распределения
- •3.1.4. Вероятность отказа объекта
- •3.1.5. Вероятность безотказной работы
- •3.1.6. Вероятность восстановления работоспособности
- •3.2. Дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины
- •3.2.1. Частота появления событий
- •3.2.2. График дифференциальной функции распределения вероятностей случайной величины
- •3.2.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •3.2.4. Свойства дифференциальной функции распределения
- •3.3. Определение интегральной и дополнения интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции
- •3.4. Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось
- •3.5. Интенсивность событий
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание
- •2.4. Плотность распределения случайной величины
- •3. Единичные показатели надежности объекта (епно)
- •3.1. Законы распределения случайной величины
- •4.2. Рассеивание случайной величины
- •4.3. Гамма-процентное значение случайной величины
- •4.4. Медиана случайной величины
- •5. Безотказность системы
- •5.1. Безотказность объектов при последовательном соединении элементов
- •5.2. Безотказность объекта при параллельном соединении элементов
- •5.3. Безотказность объекта при смешанном соединении элементов
- •6. Распределения случайных величин
- •6.1. Экспоненциальное распределение
- •6.1.1. Дополнение интегральной функции экспоненциального распределения вероятностей случайной величины
- •6.1.6. Характеристическое свойство экспоненциального распределения
- •6.1.7. Линеаризация экспоненциальной функции
- •7. Нормальное распределение
- •7.1. Дифференциальная функция нормального распределения
- •7.1.1. Свойства дифференциальной функции нормального распределения
- •7.2. Правило трех среднеквадратических отклонений
- •7.3. Интегральная функция нормального распределения
- •7.4. Нормированное нормальное распределение
- •7.5. Логарифмически нормальное распределение
- •8. Распределение вейбулла
- •8.1. Дополнение интегральной функции распределения Вейбулла
- •9. Надежность восстанавливаемых объектов
- •9.1. Поток событий
- •9.1.1. Функция потока событий
- •9.1.2. Интенсивность потока событий
- •9.1.3. Среднее число потока событий
- •9.1.4. Среднее время между событиями потока
- •9.1.5. Интенсивность потока отказов за время эксплуатации
- •9.1.6. Простейший поток событий
- •9.1.7. Математическая модель простейшего потока событий
- •9.1.8. Поток событий совокупности объектов
- •9.2. Процесс эксплуатации восстанавливаемого объекта
- •9.2.1. Модель эксплуатации объекта с конечным временем восстановления
- •9.2.2. Вероятности состояний системы
- •9.2.3. Дифференциальные уравнения вероятностей состояний
- •9.3. Готовность объекта
- •9.3.1. Функция готовности объекта
- •9.3.2. Функция простоя
- •9.3.3. Финальные вероятности состояний
- •9.3.4. Коэффициент готовности
- •9.3.5. Коэффициент простоя
- •10. Повышение надежности машин
- •10.1. Обеспечение надежности при проектировании
9.1.6. Простейший поток событий
Среди потоков событий простейший поток играет особую роль. Он обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Суммирование (взаимное наложение) большого числа независимых стационарных, ординарных потоков с любым последействием дает поток, близкий к простейшему. Но при этом должны соблюдаться условия, аналогичные центральной предельной теореме: каждое слагаемое должно оказывать на сумму сравнительно малое влияние.
Поток отказов восстанавливаемых объектов в период нормальной эксплуатации при неизменных условиях оказывается простейшим, с постоянным значением его интенсивности, т.е. параметра потоков отказов. Поток восстановлений работоспособности объектов на практике - простейший поток.
9.1.7. Математическая модель простейшего потока событий
Математическая модель простейшего потока событий должна отражать все три его свойства:
- стационарность,
- отсутствие последействия,
- ординарность.
Вероятность появления n событий простейшего потока за время t при известной интенсивности определяется по формуле Пуассона:
Pn(t)== (n=0,1,2,...), (62)
где H - среднее число событий.
Эта формула отражает все три свойства простейшего потока, поэтому она является математической моделью потока.
Экспоненциальное распределение длительности интервала времени между соседними событиями простейшего потока является следствием: 1) стационарности, 2) отсутствия последействия, 3) ординарности.
Рассмотрим случайную величину T - это длительность интервала времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке, и найдем ее функцию распределения
F(t)=P(T<t).
Вероятность противоположного события (T>t)
P(t)=1-F(t)=P(T>t),
т.е. вероятность того, что на интервале времени длительностью t, начинающимся в момент tk появления одного из событий потока, не появится ни одно из последующих событий, т.к. простейший поток не обладает последействием. Поэтому вероятность P(t)=P(T>t) вычисляется по формуле Пуассона (62) при n=0:
P(t)=P(T>0)==exp(-t). (63)
Интегральная функция распределения
F(t)=P(T<t)=1-exp(-t). (64)
Дифференциальная функция (плотность вероятностей) определяется дифференцированием формулы (64):
f(t)= exp(-t).
Среднее время между соседними событиями простейшего потока
Tcp=, (65)
т.е. равно величине, обратной интенсивности потока событий.
Экспоненциальное распределение времени безотказной работы объекта в период нормальной эксплуатации является следствием того, что поток отказов становится простейшим, т.к. обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия, ординарности. Параметр потока отказов, характеризующий его интенсивность, является постоянной величиной для любого момента времени в период нормальной эксплуатации при неизменных условиях.
При постоянной величине параметра потока отказов время безотказной работы объекта имеет экспоненциальное распределение.
Вероятность появления n отказов в простейшем потоке на любом заданном интервале времени в период нормальной эксплуатации будет иметь экспоненциальное распределение.
Вероятность безотказной работы объекта на любом заданном интервале времени в период нормальной эксплуатации имеет экспоненциальное распределение:
P(t)=P(T>t)=exp(-t).
Среднее время между отказами (наработка на отказ) в периоде нормальной эксплуатации
Tcp=,
т.е. равно величине, обратной параметру потока отказов.
Экспоненциальное распределение времени восстановления работоспособности объекта является самым распространенным в теории надежности, т.к. на практике поток восстановлений чаще всего является простейшим. Особая роль экспоненциального распределения времени восстановлений определяется его характеристическим свойством: при восстановлении работоспособности объекта распределение оставшегося времени восстановления не зависит от того, сколько времени восстановление уже продолжалось.
Интегральная функция экспоненциального распределения времени восстановления работоспособности имеет вид
FB(t)=P(TB<t)=1-exp(-t).
Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности):
fB(t)== exp(-t).
Интенсивность восстановлений работоспособности постоянна:
(t)==.
Среднее время восстановления:
Tв.cp.=(-t)dt=,
т.е. восстановление работоспособности обратно пропорционально интенсивности.
Экспоненциальное распределение хорошо описывает случаи, когда основная масса восстановлений выполняется быстро, а задержки в восстановлении наблюдаются редко, т.е. когда число восстановлений уменьшается с увеличением их длительности. Конечно, экспоненциальное распределение времени восстановления работоспособности объектов не является универсальным и единственно возможным.
Пропускная способность системы восстановления работоспособности сравнительно мало зависит от вида распределения, а зависит в основном от его среднего значения. Поэтому в теории надежности чаще всего пользуются экспоненциальным распределением, что позволяет упростить математический аппарат при небольшой погрешности.