Лабораторная работа 2 Анализ чувствительности задач линейного программирования

Выполнив эту работу, Вы сможете:

• освоить технологию анализа чувствительности задач ЛП на основе различных типов отчетов, выдаваемых Microsoft Excel.

1. Теоретическая часть

На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.

Ресурсы относятся к дефицитным, если оптимальный план предусматривает их полное использование, при частичном использовании ресурсов они считаются недефицитными.

Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

1) на сколько можно увеличить (ограничения типа ) или уменьшить (ограничения типа ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

2) на сколько можно уменьшить (ограничения типа ) или увеличить (ограничения типа ) запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

2. Анализ оптимального решения на чувствительность в Excel

Задание 7

Проведем анализ чувствительности задачи о производстве двух видов продукции из лабораторной работы №1. Для этого:

1. Откройте из папки МАТ_МОД файл lab_2(а).

2. Снова запустите задачу на решение (Сервис  Поиск решения) и в окне «Результаты поиска решения» выделите с помощью мыши два типа отчетов: «Результаты» и «Устойчивость» (Рис. 15).

Обратите внимание: для задач с целочисленными переменными возможно создать только отчет по результатам.

3. Проанализируйте первый полученный отчет - «Отчет по результатам 1» (Рис. 16).

Рис. 15. Выделение типов отчетов, требуемых для анализа чувствительности

Рис. 16. Лист отчета по результатам

Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе «Статус» («Состояние») соответствующее ограничение указывается как «связанное»; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный) в этой графе указывается «не связан». В графе «Значение» приведены величины использованного ресурса.

Для граничных условий в графе «Разница» показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Таблица 3 отчета по результатам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения ЦФ.

Если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе «Разница» дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма.

Если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе «Разница» дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения.

Так, анализ строки 19 (Рис. 16) отчета по результатам для задачи о выпуске продукции показывает, что время обработки на I оборудовании составило 7,25 ч. Неизрасходованным остается 2,75 ч из общего фонда времени, отведенного на обработку продукции на I оборудовании. Из этого следует, что запас недефицитного ресурса “Фонд времени работы на I оборудовании” можно уменьшить на 2,75 ч и это никак не повлияет на оптимальное решение. Отсюда следует, что количество рабочих, обслуживающих I оборудование, можно уменьшить или перевести их на выпуск другой продукции. Ресурсы время работы на II и III оборудовании являются дефицитными.

На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать большее количество (в кг) продукции и получать большую прибыль. Проанализировать эти причины позволяет отчет по устойчивости.

4. Проанализируйте второй полученный отчет - «Отчет по устойчивости 1».

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц «Изменяемые ячейки» и «Ограничения» (Рис. 17).

Таблица «Изменяемые ячейки» содержит информацию», относящуюся к переменным:

• Результат решения задачи можно увидеть в столбце «Результ. значение».

Рис. 17. Отчет по устойчивости

• Нормированная стоимость показывает, на сколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение.

• Коэффициенты ЦФ.

• Предельные значения приращения целевых коэффициентов (столбцы «Допустимое Увеличение» и «Допустимое Уменьшение»), при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение.

Например, допустимое увеличение цены на продукт А равно 2,5 тыс.руб./кг, а допустимое уменьшение – 0,5 тыс.руб./кг. Это означает, что если цена на продукт А возрастет более чем на 2,5 тыс.руб./кг., например станет равной 5 тыс.руб./кг., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпуск А. И если его цена будет снижена до 1 тыс.руб./кг., то оптимальное решение также измениться: выгоднее будет увеличить выпуск продукта B. А вот если цена на продукт станет равна 4 тыс.руб./кг. или 1,8 тыс.руб./кг, то оптимальное решение не измениться.

Задание 8

Убедитесь в этом самостоятельно, для этого:

1. Увеличьте цену на продукт А – установите 4 тыс.руб./кг (в ячейку B7 внесите 4) и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

2. Уменьшите цену на продукт А – установите 1,8 тыс.руб./кг и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

Обратите внимание, что в обоих случаях оптимальное решение не изменилось.

3. Увеличьте цену на продукт А – установите 5 тыс.руб./кг и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

Обратите внимание, что оптимальное решение изменилось: целесообразно стало выпускать 4 кг продукта A и не выпускать продукт B.

4. Уменьшите цену на продукт А – установите 1 тыс.руб./кг и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

Обратите внимание, что оптимальное решение изменилось: целесообразно стало выпускать продукт A и продукт B в равных количествах.

5. Сохраните файл с полученными отчетами в своей папке с текущим именем.

Таблица «Ограничения» содержит информацию, относящуюся к ограничениям.

• Величина использованных ресурсов содержится в колонке «Результ. значение».

• Предельные значения приращения ресурсов содержатся в столбцах «Допустимое Уменьшение» и «Допустимое Увеличение».

В графе «Допустимое Уменьшение» показывается:

• на сколько можно уменьшить ресурс (устранить излишек), в случае если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид ;

• на сколько можно увеличить ресурс (повысить минимально необходимое требование), в случае если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид .

При этом при таких изменениях количества ресурса, оптимальное решение остается прежним.

В графе «Допустимое Увеличение» показывается:

• на сколько максимально надо увеличить ресурс, чтобы обеспечить увеличение значений оптимального решения, если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид ;

• на сколько максимально возможно уменьшить ресурс, чтобы обеспечить необходимое уменьшение значений оптимального решения, если знак ограничений ресурсов в задаче имеет вид .

Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов, так как анализ недефицитных ресурсов был дан выше (напоминаем, что в нашем случае только один ресурс не является дефицитным – время работы I оборудования). Анализируя отчет по результатам, мы установили, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать больший, чем в оптимальном решении, объем продукции и получать более высокую прибыль. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы “Время обработки на II оборудовании” и “Время обработки на III оборудовании”. Поскольку знак ограничений этих ресурсов имеет вид , то возникает вопрос, на сколько максимально должен возрасти фонд времени работы этих оборудований, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос показан в графе «Допустимое Увеличение». Фонд времени работы II оборудования имеет смысл увеличить самое большее на 3 часа, а III оборудования самое большее на 1,69 часа. Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль по сравнению с найденным. Дальнейшее увеличение фонда времени работы оборудования II и III сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение, т.к. уже другие ресурсы станут дефицитными.

Задание 9

Убедитесь в этом самостоятельно, для этого снова откройте файл lab_2(а) из папки МАТ_МОД и поэкспериментируйте с исходными данными о фонде рабочего времени оборудования:

1. Увеличьте фонд рабочего времени для II оборудования – установите 14 часов (в ячейку F13 внесите 14) и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

2. Установите исходное значение фонда времени для оборудования II (12 часов) и увеличьте фонд рабочего времени для III оборудования – установите 11 часов (в ячейку F14 внесите 11), осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

Обратите внимание, что в обоих случаях оптимальное решение изменилось и повысилась прибыль, но ресурс – фонд времени для оборудования I не стал дефицитным.

3. Фонд рабочего времени для II оборудования – установите 16 часов, для III оборудования – установите исходное значение 10 часов и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

4. Фонд рабочего времени для II оборудования – установите исходное значение 12 часов, для III оборудования – установите значение 14 часов и осуществите поиск решения с предоставлением отчетов.

Обратите внимание, что в этих случаях оптимальное решение изменилось, но ресурс – фонд времени для оборудования I стал дефицитным.

5. Сохраните файл с полученными отчетами с именем lab_2(b) в своей папке.

• Ценность дополнительной единицы i-го ресурса («Теневая цена») рассчитывается только для дефицитных ресурсов.

После того как мы установили, что увеличение фонда рабочего времени оборудования II и III приведет к новым планам выпуска, обеспечивающим более высокую прибыль, возникает следующий вопрос. Что выгоднее в первую очередь увеличивать фонд рабочего времени для II оборудования или для III оборудования? Ответ на этот вопрос дает графа «Теневая цена». Для II оборудования она равна 0,25 тыс. руб./кг., а для III оборудования – 0,625 тыс.руб./кг. Отсюда вывод: в первую очередь выгодно увеличивать фонд рабочего времени для III оборудования.

Задание 10

1. Постройте математическую модели для следующей задачи ЛП и найдите ее оптимальное решение средствами Excel.

Предприятие выпускает телевизоры, стереосистемы и акустические системы, используя общий склад комплектующих. В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий для получения наибольшей прибыли. Общее количество запасов комплектующих, расход (шт.) на изготовление единицы изделия и прибыль от реализации единицы каждого представлены в таблице 17.

Таблица 17