§ 2. Основные уравнения математической физики
10. Уравнение колебания струны. Постановка задачи. Струна длиной l натянута с силой и находится в прямолинейном положении равновесия, – непрерывная линейная плотность внешних сил, – непрерывная линейная плотность струны. В момент времени точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны при , если концы струны
а) закреплены жестко;
б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения u;
в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.
Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.
Решение. Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Пусть струна в плоскости осуществляет поперечные колебания около своего положения равновесия, которое совпадает с осью . Величину отклонения струны от положения равновесия в момент времени обозначим через . Рассматриваются только малые колебания струны. Тогда при постоянной плотности функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Уравнение вынужденных колебаний струны, если , то уравнение (1) принимает вид
,
где – постоянная, – сила начального натяжения струны, – непрерывная линейная плотность внешних сил.
Кроме того, функция удовлетворяет начальным условиям
, , где , – заданные функции.
Приведем краевые условия:
а) Если концы струны жестко закреплены, то , .
б) В случае свободных концов имеют место условия , .
в) , , где функции определяют закон движения концов струны .
Пример 1. Задача о колебаниях мембраны (свободно изгибающейся натянутой пленки), занимающей в положении равновесия некоторую область D в плоскости Oxy, ограниченную замкнутой кривой L. Рассмотреть только малые поперечные колебания мембраны в предположении, что она находится под действием равномерного натяжения T, приложенного к краям мембраны. Величину смещения точки мембраны от положения равновесия в момент времени обозначим через . Тогда функция удовлетворяет уравнению
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны в случае однородной мембраны , уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде
, (7)
где , . где – поверхностная плотность мембраны, -- внешняя сила
Если внешняя сила отсутствует, т.е. , то из (7) получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны
.
Как и при рассмотрении колебаний струны, для полного определения движения мембраны нужно задать в начальный момент времени смещение и скорость всех точек мембраны:
, .
Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть при любом . □
Уравнение теплопроводности. Рассмотрим в с декартовой системой координат OXYZ твердое тело V. Пусть температура этого тела в любой точке в момент времени t определяется функцией . Тогда производные характеризуют скорость изменения температуры в момент времени t в направлении осей X, Y и Z соответственно. Тело V предполагается изотропным, т.е. его тепловые свойства не зависят от направления. Известно, что теплота переходит из более нагретых мест в менее нагретые. Обозначим коэффициент теплопроводности тела, а c – его удельную теплоемкость.
Уравнение теплопроводности тела:
. (9)
где .
Уравнение (9) получено в предположении, что внутри тела отсутствуют тепловые источники. Если же плотность тепловых источников (количество поглощенной или выделенной теплоты за единицу времени в единице объема тела) в теле V равна , то уравнение теплопроводности принимает вид
, (10)
где .
Уравнения (9) и (10) получены при условии отсутствия теплового обмена между поверхностью тела и внешней средой.
Для тела V граничные условия определяются на его поверхности. Поскольку вдоль поверхности S тело V граничит с окружающей средой, то в каждой точке S необходимо задать либо температуру u, либо тепловой поток (n – нормаль к S), либо теплообмен (перепад температур) с окружающей средой. Таким образом, граничное условие может быть задано одним из возможных способов:
1) , где – известная функция точек поверхности S и времени t;
2) , где – заданная функция точек поверхности S и времени t;
3) при теплообмене с окружающей средой граничные условия в общем случае имеют вид
где – константы; Ф – заданная функция.
Начальные условия для уравнения теплопроводности запишутся ,
где – заданная функция точек тела V.
30. Уравнение диффузии. Диффузией называется распространение вещества в какой-либо среде, обусловленное неравномерностью в ней его концентрации и происходящее лишь за счет теплового движения молекул.
Уравнение диффузии соли в растворителе.
Уравнение диффузии нейтронов в реакторе.
40. Телеграфные уравнения.