§ 3. Методы решения уравнений математической физики
10. Метод Д’Аламбера. Одним из широко используемых способов решения уравнения колебаний струны является метод характеристик, называемый в этом случае методом Д`Аламбера. Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны: требуется найти решение волнового уравнения
(1)
при начальных условиях
;
(2)
(рассматриваются только свободные колебания струны).
Формула Д’Аламбера для решения задачи Коши для бесконечной струны:
. (3)
20. Метод Фурье решения волнового
уравнения. Рассмотрим
задачу колебаний конечной струны,
закрепленной в точках
и
,
состоящую в решении волнового уравнения
(1),
,
при начальных условиях
(4)
и при краевых условиях
. (5)
Метод
Фурье
(разделения переменных) заключается в
отыскании решения в виде
.
Можно показать, что решением уравнения (1) будет функция
. (6)
где, учитывая начальные условия (4),
(7)
30. Решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности методом пребразования
Фурье. Рассмотрим
задачу Коши о распространении теплоты
в неограниченном стержне, боковая
поверхность которого теплоизолирована.
В математической постановке она сводится
к отысканию решения
однородного уравнения теплопроводности
(8)
удовлетворяющего начальному условию
. (9)
Решение, задачи Коши о теплопроводности бесконечного стержня, имеет вид
(10)
Пример
7.
Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее
начальному условию
и краевому условию
.
Решение.
Имеем
дифференциальное уравнение теплопроводности
для
полубесконечного стержня. Решение,
удовлетворяющее указанным
условиям, имеет вид
.
□
В
случае стержня, ограниченного с обоих
концов
и
,
смешанная задача состоит в том, чтобы
найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
и двум краевым условиям
1)
.
В этом случае частное решение ищется в
виде ряда
где
;
2)
.
В этом случае частное решение ищется в
виде ряда
где
.
40. Решение задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в круге методом Фурье.
Уравнение теплопроводности
для стационарного случая обращается в
уравнение Лапласа
.
Здесь u
есть функция только точки и не зависит
от времени. Для задач, относящихся к
плоским фигурам, уравнение Лапласа
записывается в виде
. (11)
Задача
Дирихле для уравнения Лапласа в круге
формулируется
следующим образом: найти функцию
,
удовлетворяющую уравнению (11) внутри
круга радиусом a
и граничному условию
на границе этого круга, где f
– заданная гладкая функция.
Введем
полярную систему координат
по формулам
,
,
,
с началом в центре круга.
Тогда
.
Решением задачи Дирихле в круге будет
функция 
(13)
Из
краевого условия
получаем условия для определения
коэффициентов
(14)
Задача.
Найти решение
уравнения Лапласа в области, заключенной
между двумя концентрическими окружностями
радиусов
и
с центрами в начале координат,
удовлетворяющее граничным условиям
.
Граничные
условия в полярных координатах примут
вид
.
Решение
задачи ищем в виде
.
Удовлетворим граничным условиям:
,
.
Отсюда
для
;
для
,
для
.
Из
этих двух серий соотношений (линейной
алгебраической системы уравнений)
определяем коэффициенты: а)
,
б)
,
в)
все остальные коэффициенты равны нулю.
Итак,
,
или в декартовых координатах
,
,
.