1.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2.определить размеры поперечного сечения из условия прочности балки по допускаемым напряжениям.
Форма сечения изображена на рис. 4.81.
Исходные числовые данные: Р1=4кН, Р2=3Р1=12кН М=6 кНм, q=8 кН/м, l = 1м, допускаемое напряжение чугуна на растяжение допускаемое напряжение на сжатие - .
Рис. 4.80. Заданная схема балки Рис. 4.81.Схема поперечного сече ния балки
Решение.
1. Построение эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
1.1. Вычерчиваем расчетную схему балки, показав на схеме ее размеры и действующие нагрузки, включая опорные реакции и направляя их вверх (рис.4.82).
Рис. 4.82. Расчетная схема заданной балки
1.2. Определение опорных реакций из условий равновесия балки:
1.3. Проверка правильность вычисления опорных реакций:
Поскольку уравнение равновесия балки удовлетворяется, реакции определены правильно.
1.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов на основе дифференциальных зависимостей Д.И. Журавского с вычислением поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях.
1.4.1. Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов балка разбивается на три участка - AD, DB, BC, начало координат - в крайнем левом сечении балки (рис. 4.87,а).
1.4.2. Вычисления значений Q и M на границах участков (рис. 4.82), слева и справа от граничных сечений. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Участок AD.
сечение 1 (начало первого участка):
кН, = -6 кНм;
сечение 2 (конец первого участка):
Участок DB
сечение 3 (начало второго участка):
сечение 4 (конец второго участка):
Участок DC
сечение 5 (начало третьего участка):
сечение 6 (конец третьего участка):
Поскольку эпюра Q в пределах участка CB пересекает свою ось, изменяя знак с плюса на минус, в некотором сечении этого участка балки изгибающий моменты экстремален . Обозначив расстояние этого сечения от начала участка CB через и приравнивая поперечную силу, действующую в этом сечении нулю, определяем численное значение величины :
Экстремальный момент
:
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на
рис. 4.83.
Рис. 4.83. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов: а - расчетная схема балки; б - эпюра поперечных сил;
в - эпюра изгибающих моментов.
2.Определение размеров поперечного сечения из условия прочности балки по допускаемым напряжениям.
2.1.Вычисление геометрических характеристик заданного сечения.
2.1.1. Определение положения центра тяжести сечения балки.
Для определения размеров поперечного сечения все геометрические характеристики выражаются через параметр t и заданное сечение вычерчивается в масштабе (рис.4.84).
Сечение рассматривается в исходной (начальной) системе координат. Ось ординат yс, совмещается с осью симметрии фигуры, ось абсцисс x – с ее основанием.
Рис. 4.84. Схема к вычислению геометрических
характеристик поперечного сечения
Заданное составное сечение разбивается на элементы, представляющие собой две простые геометрические фигуры: I - прямоугольник, II – полукруг.
Центры тяжести составляющих фигур и всей заданной фигуры (сечения) лежат на оси симметрии yс , которая является их главной центральной осью.
В исходной системе координат x, yс центры тяжести составляющих фигур (С1, С2) определяются по рис. 4.84. Ордината точки С1 и учитывая, что
,
вычисляем ординату точки С2:
Заданная фигура имеет ось симметрии (ось Yс,), центр тяжести лежит на этой оси, поэтому достаточно вычислить одну из его координат - ординату yc:
где - площадь прямоугольника, - площадь полукруга.
Отложив на оси Yс, отрезок ОС = yc= 1,9 a, строим точку С - центр тяжести составного сечения (рис. 4.84) и проводим параллельно начальной оси X главную центральную ось XС составной фигуры и главные центральные оси составляющих фигур I, II, параллельные исходным осям x, yс, соответственно обозначенные x1, y1 и x2, y2.
2.1.2. Вычисление площадей и главных моментов инерции составляющих фигур относительно собственных центральных осей.
Рис.
4.85 .Фигура I
-прямоугольник
Д
прямоугольник (рис. 4.85)
,
Рис. 4.86. Фигура II полукруг
,
.
2.1.3. Вычисление моментов инерции составляющих фигур относительно главной центральной оси XC.
Вычисление моментов инерции составляющих фигур относительно главной центральной оси XC производится по формулам
, .
Считая главные центральные оси x1, X2 каждой из составляющих фигур исходными, (расстояния между осями определяется по рис.4.89), получим:
- для прямоугольника
,
;
- для полукруга
,
.
2.1.3. Вычисление главного центрального момента инерции сечения балки относительно главной центральной оси XC.
Главный центральный момент инерции составной фигуры относительно оси XC представляет собой сумму осевых моментов инерции составляющих фигур относительно этой же оси
.
2.2.Определение размеров поперечного сечения из условия прочности балки.
2.2.1. Определение осевого момента сопротивления при изгибе
Для балки, изготовленной из хрупкого материала, вычисляем два момента сопротивления относительно оси XC:
2.2.2. Определение размеров сечения из условия прочности балки.
В сечении, где изгибающий момент (рис. 4.88,в), нижние волокна балки растянуты, верхние волокна сжаты. Условие прочности для опасной, наиболее удаленной от нейтральной оси точки в растянутой зоне сечения имеет вид
Из последнего выражения определяем искомый параметр t
Наибольшие сжимающие напряжения в рассматриваемом сечении
Условие прочности по сжимающим напряжениям , удовлетворяется.
Так как условия прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям удовлетворяются, величина параметра принимается t = 1,64 см.