4.1.6. Уравнения динамики разомкнутой и замкнутой сар

С учетом (1.10) передаточная функция разомкнутой САР относительно точки приложения задающего воздействия определяется как:

(4.11)

откуда

(4.12)

Уравнение (4.12) является дифференциальным уравнением (в операторной форме) разомкнутой САР.

Если в (4.12) приравнять к нулю правую часть, то получим уравнение свободного движения разомкнутой САР:

(4.12)

и, соответственно, характеристическое уравнение разомкнутой САР:

(4.13)

По отношению к задающему воздействию z передаточная функция замкнутой САР имеет вид:

(4.14)

или, с учетом (4.11)

(4.15)

При этом дифференциальное уравнение замкнутой САР

(4.16)

а уравнение свободного движения

(4.17)

и, соответственно, характеристическое уравнение

(4.18)

Глава 5. Устойчивость сау.

5.1. Понятие об устойчивости системы

Вопрос об устойчивости САУ является важнейшим в теории автоматического управления. В общем случае под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия, из которого она по тем или иным причинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания.

Так как после снятия возмущения движение системы является свободным (см. 1.7.3), устойчивость линейной САУ определяется характером свободного движения (рис. 5.1).

Рис.5.1. САР: x_c(t) – свободная составляющая процесса; x_в(t) – вынужденная составляющая процесса

САУ устойчива, если свободный процесс является затухающим , т.е. затухающими являются все составляющие, входящие в (1.28)

.

Для этого, как указывалось в 1.7.3, вещественные части всех корней () характеристического уравнения (1.29)

должны быть отрицательными. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то свободный процесс не затухает и САУ неустойчива. Промежуточное положение занимает случай, когда один из корней имеет вещественную часть, равную нулю, а вещественные части остальных корней отрицательные. В этом случае говорят о границе колебательной устойчивости, а если равна нулю и мнимая часть (нулевой корень) – о границе апериодической устойчивости. Систему, характеристическое уравнение которой имеет один нулевой корень, а остальные устойчивые, иногда называют нейтрально-устойчивой. В табл. 5.1 представлены корни характеристического уравнения на комплексной плоскости и характер свободного процесса для устойчивых и неустойчивых САУ.

Табл.5.1.

Значения корней	Корни на комплексной плоскости	Характер свободного процесса	Устойчивость САУ
pk=-αk (ωk=0)	Все (-αk)<0		САУ устойчива
	Хотя бы один (-αk)>0		САУ неустойчива
			САУ неустойчива (граница апериодическ. устойчивости)
pk=-αk±jωk	Все (-αk)<0		САУ устойчива
	Хотя бы один (-αk)>0		САУ неустойчива
			САУ неустойчива (граница колебательной устойчивости)

Устойчивость линейных систем не зависит от величины возмущения, вызвавшего ее движение. Нелинейные САУ, в частности, могут быть устойчивы при малых возмущениях (устойчивы в малом) и неустойчивы при больших (неустойчивы в большом).

В вопросах суждения об устойчивости САУ имеют большое практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные А. М. Ляпуновым. В частности, ниже приведены две теоремы, обосновывающие правомерность суждений об устойчивости реальных САУ, уравнения которых записаны в отклонениях.

1. Если все кони характеристического уравнения первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное (свободное) движение САУ устойчиво при малых отклонениях (устойчива в малом) независимо от отброшенных при линеаризации уравнения членов второй и более высоких степеней отклонения.

2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение САУ неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации уравнения членов второй и более высоких степеней отклонения.

Таким образом, исследование устойчивости САУ сводится к определению знаков вещественной части корней характеристического уравнения. В связи с тем, что каждый корень может быть представлен точкой в комплексной плоскости корней, для устойчивой САУ все корни должны располагаться слева от оси мнимых величин этой плоскости. Условно будем их называть устойчивыми.

Разработаны специальные правила, позволяющие судить о знаке вещественной части корней без решения характеристического уравнения, т.е. без нахождения значений этих корней. Эти правила получили название критериев устойчивости.

Известные критерии устойчивости могут быть разделены на две группы: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости САУ по знаку некоторых алгебраических выражений, составленных по определенным правилам из коэффициентов характеристического уравнения. Среди них наиболее распространенными являются критерии Рауса и Гурвица.

Частотные критерии основаны на исследовании частотных свойств САУ. Одним из представителей этой группы критериев является критерий Михайлова.

5.2. Алгебраические критерии устойчивости