5.2.2. Критерий Гурвица

Весьма распространенной в технической практике формой алгебраического критерия устойчивости является критерий Гурвица, предложенный в 1895 году. Этот критерий формулирует условия устойчивости в форме определителей.

Если характеристическое уравнение n-й степени имеет вид (5.1), то для оценки устойчивости по Гурвицу необходимо составить определитель n-го порядка из коэффициентов уравнения по схеме, приведенной ниже:

(5.5)

Сам определитель (5.5) составляется по следующему правилу. По главной диагонали слева направовыписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a_n-1 и далее в порядке убывания индекса до коэффициента a₀ включительно. Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим; все коэффициенты с индексами ниже 0 и выше степени уравнения n заменяются нулями

Гурвиц доказал, что все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, если при a_n > 0 все n диагональных миноров определителя (5.5) положительны, т.е. выполняются неравенства

(5.6)

и т.д.

Диагональные миноры (5.6) называются определителями Гурвица и отделены в определителе (5.5) пунктирными линиями

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица для САУ, имеющих характеристическое уравнение с n ≤ 3.

1) n = 1; a₁p + a₀ = 0.

Условием устойчивости является: a₁ > 0, ∆₁ = a₀ > 0.

2) n = 2; a₂p² + a₁p + a₀ = 0.

Для устойчивости необходимо:

,

т.е. a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0.

3) n = 3, a₃p³ + a₂p² + a₁p + a₀ = 0.

Система будет устойчива, если:

откуда a₀ > 0

При a₃ > 0, a₂ > 0, a₀ > 0 может быть ∆₂ > 0, если a₁ > 0.

Из приведенных примеров видно, что при n ≤ 2 необходимым и достаточным условием устойчивости системы является положительность коэффициентов характеристического уравнения. При n = 3 это условие является необходимым, но не достаточным, т.к. дополнительно требуется ∆₂ > 0.

Можно показать, что при n > 3 положительность коэффициентов уравнения является необходимым, но недостаточным условием устойчивости системы.

Существенно отметить, что из структуры построения последнего определителя ∆_n следует, что

∆_n = a₀∆_n-1 (5.7)

Если приравнять последний определитель к нулю при условии положительности всех предыдущих определителей, то получим уравнения, соответствующие границе устойчивости.

a₀ = 0 (5.8)

или

∆_n-1 = 0 (5.9)

Случай, соответствующий уравнению (5.8), означает границу апериодической устойчивости. Действительно, если, например, характеристическое уравнение имеет вид

a₂p² + a₁p = 0

то корни этого уравнения будут

р₁ = 0, р₂ = - а₁/а₂

т.е. имеется нулевой корень.

Уравнение (4.9) соответствует границе колебательной устойчивости. Например, пусть

a₂p² + a₀ = 0, т.е. ∆₁ = а₁ = 0

Корни этого уравнения , т.е. являются мнимыми.

Это свидетельствует о том, что свободный процесс имеет вид незатухающих колебаний.

При высоких порядках характеристического уравнения применение критерия Гурвица связано с большим объемом вычислительной работы. В этих случаях целесообразнее использование критерия Рауса.

Подобно критерию Рауса критерий Гурвица обладает малой наглядностью.

4.3. Частотные критерии устойчивости