- •Колебания и волны лабораторный практикум
- •Работа № 20а
- •Свободные колебания физического маятника
- •Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника
- •Определение момента инерции маятника по измерениям периодов колебаний
- •Описание экспериментальной установки
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Нормальные колебания первого (синфазного) типа
- •Нормальные колебания второго (противофазного) типа
- •Нормальные координаты
- •Явление биений
- •Измерение частот колебаний
- •Задание к лабораторной работе
- •Контрольные вопросы
- •2. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
- •Описание экспериментальной установки
- •Задание к работе
- •Описание лабораторной установки и методики измерений
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Описание установки
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Описание лабораторной установки
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Литература
Задание к работе
1. Измерить период колебаний маятника относительно каждой из предложенных осей. Период определить по формуле , где – время колебаний; – число колебаний. Для увеличения точности измерений должно быть по возможности большим (например, 100 колебаний).
2. Результаты измерений представить на графике. По вертикальной оси отложить значения , по горизонтальной – равномерно распределенные номера осей от 1 до .
3. По графику определить и по формуле (9) найти .
4. Определить для этого случая расстояние до центра инерции физического маятника, при котором период минимален.
5. Определить момент инерции маятника относительно одной или двух других осей (по указанию преподавателя) по формуле (13).
Контрольные вопросы
-
Какова цель работы?
-
В каком случае при выводе дифференциального уравнения физического маятника потерями энергии можно пренебречь?
-
Вывести это дифференциальное уравнение в указанном приближении.
-
Какими функциями, кроме приведенной в выражении (4), может описываться решение уравнения (3)?
-
Как с помощью только одного измерительного прибора – секундомера (при известной массе тела) можно определить момент инерции тела?
-
Формула (13) дает (с учетом знаков «» внутри формулы) два значения момента инерции. Как это понимать? В каком случае использовать формулу со знаком «+», а в каком – со знаком «–» ?
Литература
-
Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2004 (и др. годы изданий).
-
Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Астрель, 2001 (и др. годы изданий).
Работа № 20б
свободные колебания в системе двух связанных маятников
Цель работы: для колебательной системы из двух связанных физических маятников измерить частоты нормальных колебаний и частоту биений при различной степени связи; соотношение между частотами и зависимость этих частот от степени связи сравнить с теоретическими.
Гармонические колебания в системе с двумя степенями свободы (нормальные колебания)
Э
Рис.
1
Р
Рис.
2
Очевидно, что в рассматриваемой установке будут происходить колебательные процессы. Но будут ли эти процессы гармоническими, т.е. будут ли изменяться углы отклонений маятников и с течением времени по законам косинуса или синуса с постоянной амплитудой колебаний? В общем случае нет.
Действительно, отклоним один из маятников и посмотрим, что произойдет с другим маятником, если первоначальные углы отклонения маятников от вертикали не одинаковы. Из-за воздействия пружины второй маятник придет в движение: будет происходить его постепенное раскачивание в результате перехода энергии от одного маятника к другому, и такое движение не будет гармоническим, поскольку амплитуда этих колебаний непрерывно изменяется с течением времени (это движение невозможно представить в виде синусоиды).
С другой стороны, если мы оба маятника отклоним в одну и ту же сторону на одинаковые углы, то связывающая маятники пружина практически «не будет работать», так как она не сжимается и не растягивается. При этом если трение и сопротивление воздуха малы, то оба маятника будут совершать гармонические колебания (рис. 3).
Рис. 3
Гармонические колебания также можно наблюдать, если отклонить маятники в разные стороны на одинаковые по величине углы (рис. 4).
Рис. 4
(Этот факт не совсем очевиден, однако можно показать, что это следует из симметрии первоначальных отклонений маятников от положения равновесия.)
Таким образом, в системе связанных маятников могут происходить как гармонические, так и негармонические колебания. Гармонические колебания в системе с двумя или более степенями свободы называются нормальными колебаниями системы.
Нормальные колебания представляют особый интерес, поскольку любые негармонические движения являются суперпозициями (или линейными комбинациями) этих нормальных колебаний.
Перейдем теперь к количественному описанию колебательных процессов в экспериментальной установке. Исходными являются основные уравнения динамики вращательного движения.
Пусть каждый из маятников имеет массу и момент инерции . Центр инерции каждого из маятников расположен на расстоянии от оси вращения, пружина жесткости прикреплена к маятникам на расстоянии от оси вращения (рис. 2). Массой пружины мы пренебрежем.
На каждый маятник действуют два момента сил: момент силы тяжести и момент силы связи (предполагаем, что трением в оси колебаний маятников можно пренебречь). Будем считать колебания малыми, т.е. полагаем малыми углы отклонения маятников:
, (1)
так что
, . (2)
Деформация пружины равна (см. рис. 2):
. (3)
Используя при вычислении моментов сил приближенные равенства (2), основные уравнения динамики вращательного движения можно записать в виде:
, (4)
. (5)
Введем обозначения:
, . (6)
Тогда уравнения (4) и (5) после деления на величину перепишутся в следующей форме:
, (7)
. (8)
Уберем мысленно пружину (положим формально жесткость пружины или мысленно поднимем пружину к самой оси вращения ), т.е. сделаем маятники независимыми друг от друга, не связанными. Тогда и третьи члены в уравнениях (7) и (8) обратятся в нуль, движение каждого из двух маятников станет независимым и будет описываться стандартным дифференциальным уравнением гармонических колебаний
, , (9)
где имеет смысл собственной частоты колебаний одного отдельно взятого физического маятника.
Различие уравнений (7), (8) и (9) показывает, что при наличии связи между маятниками, т.е. в системе с двумя степенями свободы, движение в общем случае может не происходить по гармоническому закону.
Пусть и – начальные угловые отклонения маятников. Тогда решение уравнений (7), (8) можно записать в следующем виде:
, (10)
. (11)
(Проверьте это подстановкой приведенных решений в уравнения (7) и (8). Здесь введены обозначения:
, . (12)
Зависимости углов отклонения от времени (10), (11) указывают на тот факт, что в общем случае колебания маятников действительно не являются гармоническими, а представляют собой сумму двух гармонических колебаний с частотами и . Именно эти гармонические колебания и называются нормальными колебаниями.
Теперь уместно задать вопрос: при каких условиях возбуждения в нашей экспериментальной установке возникают нормальные колебания? Точный количественный ответ дают соотношения (10) и (11).