- •Модуль 3. Основные численные методы. Роль численных методов
- •Тема 3.1. Приближенные числа.
- •Тема 3.2. Численное интегрирование. Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •Пункт 2. Метод прямоугольника.
- •Погрешность формулы прямоугольника:
- •Пункт 3. Метод трапеций.
- •Пункт 4. Метод парабол (метод Симпсона).
- •Погрешность формулы парабол:
- •Тема 3.3. Интерполирование. Конечные разности.
- •Понятие конечных разностей.
- •Понятие интерполирования.
- •Интерполяционная формула Ньютона.
- •Тема 3.4. Численное дифференцирование.
- •Численное решение дифференциальных уравнений.
- •Метод Эйлера.
Тема 3.2. Численное интегрирование. Приближенное вычисление определенных интегралов.
-
Понятие численного интегрирования.
-
Метод прямоугольника.
-
Метод трапеций.
-
Метод парабол.
Пункт 1. Понятие численного интегрирования.
Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b - пределы интегрирования (см. рисунок).
Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
Пункт 2. Метод прямоугольника.
Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм - интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл
Если заданная функция - положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула
выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.
Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:
, где .
Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников.
Погрешность формулы прямоугольника:
, где .
Пример 10.
Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формулам прямоугольников.
Решение:
Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения.
Найдем точки деления хn и значения подынтегральной функции в этих точках.
n |
xn |
|
0 |
0 |
2.2136 |
1 |
0.1 |
2.2363 |
2 |
0.2 |
2.2378 |
3 |
0.3 |
2.2421 |
4 |
0.4 |
2.2503 |
5 |
0.5 |
2.2638 |
6 |
0.6 |
2.2839 |
7 |
0.7 |
2.3115 |
8 |
0.8 |
2.3478 |
9 |
0.9 |
2.3935 |
10 |
1.0 |
2.4494 |
Используя одну из формул прямоугольников , имеем
Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямоугольников вычислим наибольшее значение первой производной в интервале [0; 1].
;
тогда предельная абсолютная погрешность Rn приближения равна:
Ответ: .
Пример 11.
Вычислить интеграл при n=10 и ε=0,001 по формуле прямоугольника.
Решение:
Разделим интервал интегрирования [1; 2] на 10 равных частей шаг разбиения.
Найдем точки деления хn и значения подынтегральной функции в этих точках.
n |
xn |
|
0 |
1,0 |
1.000 |
1 |
1.1 |
1.049 |
2 |
1.2 |
1.095 |
3 |
1.3 |
1.140 |
4 |
1.4 |
1.183 |
5 |
1.5 |
1.225 |
6 |
1.6 |
1.265 |
7 |
1.7 |
1.304 |
8 |
1.8 |
1.342 |
9 |
1.9 |
1.378 |
10 |
2.0 |
1.414 |
Используя одну из формул прямоугольников , имеем
.
Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямоугольников вычислим наибольшее значение первой производной в интервале [1; 2].
.
Так как y’ на отрезке [1; 2] достигает наибольшего значения при х=1, отсюда .
Ответ: .