Тема 3.3. Интерполирование. Конечные разности.

1. Понятие конечных разностей.

2. Понятие интерполирования.

3. Интерполяционная формула Ньютона.

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Пункт 1. Понятие конечных разностей.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1.

Разность второго порядка обозначается Δ²f и представляет собой разность разностей, т.е.

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков Δ³f (x), Δ⁴f (x),

Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например, к последовательности 3, 6, 11, 18, 27, 38, …. Первые разности равны 6 – 3, 11 – 6, 18 – 11, 27 – 18, 38 – 27, …. т.е. 3, 5, 7, 9, 11, …

Для данной последовательности разности второго порядка постоянны и равны 2.

В общем виде такие последовательности можно записать как

где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями

а n может принимать любое допустимое для индекса значение.

В некоторых приложениях используются последовательности вида

где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символа Δ используется символ «разделенной разности». Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом:

Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.

Пункт 2. Понятие интерполирования.

Под интерполяцией в математике понимают отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.

Чтобы понять, как конечные разности используются при интерполяции, рассмотрим следующую таблицу:

x	f(x)=x^3	Δ	Δ^2	Δ^3
1	1
		7
2	8		12
		19		6
3	27		18
		37		6
4	64		24
		61
5	125

Величины в первом столбце таблицы называются значениями аргумента, во втором – табличными значениями функции. В трех следующих столбцах приведены разности первого, второго и третьего порядков. Числа 7, 12, 6 называются ведущими или диагональными разностями, соответствующими первому аргументу. Термин диагональные использован потому, что разности относительно соответствующих аргументов и табличных значений располагаются не по горизонтали.

Величина (1/2)(19+37)=28 называется центральной разностью, соответствующей третьему аргументу, и обозначается символом µd. Греческая буква µ означает среднее, µd – среднее соседних разностей. Величина 18 называется центральной разностью второго порядка и обозначается символом d² . Термин центральная указывает на то, что эти разности расположены по центру относительно аргумента, т.к. они либо лежат на одной горизонтали с аргументом, либо являются средними значений, расположенных по соседству с этой горизонталью.

Обобщая, таблицу величин можно записать в символических обозначениях следующим образом:

Аргумент	Табличное значение	Δ	Δ^2	Δ^3
x–2d	f(x–2d)		Δ^2f(x–3d)
		Δf(x–2d)		Δ^3f(x–d)
x–d	f(x–d)		Δ^2f(x–2d)
		Δf(x–d)		Δ^3f(x–2d)
x	f(x)		Δ^2f(x–d)
		Δf(x)		Δ^3f(x–d)
x+d	f(x+d)		Δ^2f(x)
		Δf(x+d)		Δ^3f(x)
x+2d	f(x+2d)		Δ^2f(x+d)
		Δf(x+2d)		Δ^3f(x+d)
x+3d	f(x+3d)		Δ^2f(x+2d)

Величины Δf(x), Δ²f(x), Δ³f(x) представляют собой диагональные разности, соответствующие аргументу x.

Пункт 3. Интерполяционная формула Ньютона.

Если мы захотим найти табличные значения для аргумента x + pd, где p – некоторое произвольно выбранное число, то необходимо подставить соответствующие значения в следующий ряд, известный под названием интерполяционной формулы Грегори-Ньютона (в русскоязычной литературе эту формулу принято называть формулой Ньютона):

Или , где h – шаг.

В литературе встречается несколько вариантов формулы Грегори – Ньютона. В некоторых из них вместо диагональных разностей используются центральные разности. Так, центральные разности, соответствующие аргументу x, определяются следующим образом:

и т.д.

В качестве примера найдем по формуле интерполяции значение (2,5)³ из приведенной выше числовой таблицы. Так как d = 1, p = 1/2 и диагональные разности, соответствующие x=2, равны Δ=19, Δ²=18, Δ³=6, находим по формуле интерполяции

х	1	2	3
у	2	5	8

Пример 15.

По таблице значений функции

составлена таблица конечных разностей:

х	у	 у
1	2
		3
2	5		0
		3
3	8

Вычислите приближенное значение функции в точке х=1,4 по интерполяционной формуле Ньютона.

Решение:

Ответ: 3,2.