- •I программа курса
- •II общие методические указания
- •III основные понятия курса
- •1. Элементы комбинаторики
- •2. Виды событий
- •3. Различные определения вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •4. Основные теоремы и формулы
- •Д) Исходя из того, что сумма событий состоит в появлении хотя бы одного из событий – слагаемых, в случае большого числа событий имеет смысл пользоваться другой формулой:
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •IV. Повторные испытания
- •Формула Пуассона
- •Локальная теорема Лапласа
- •V. Случайные величины и их характеристики
- •1. Понятие о случайных величинах
- •2. Функции распределения
- •Свойства интегральной функции
- •Свойства дифференциальной функции
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Конкретные законы распределения
- •5. Закон больших чисел
- •VI. Элементы математической статистики
- •1. Характеристики распределения опытных данных
- •2. Построение законов распределения по опытным данным
- •Построение нормального закона по эмпирическому вариационному ряду Пусть в результате испытания получен интервальный вариационный ряд признака
- •Вычисление теоретического ряда частот нормального распределения
- •Построение закона Пуассона по эмпирическому материалу
- •Пусть получен эмпирический вариационный ряд признака
- •Вычисление теоретического ряда частот распределения Пуассона
- •3. Критерии согласия. Основные понятия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Критерии согласия Ястремского
- •Критерий согласия Романовского
- •4. Линейная корреляция и уравнение линейной регрессии
- •IV применение компьютерных средств для решения некоторых задач статистики
- •Ввод данных
- •Графическое представление данных
- •Статистический анализ данных в Excel
- •VIII. Задания для контрольной работы
- •I. Решить задачи
- •IV. Решить задачи
- •V. Для дискретной случайной величины х, заданной рядом распределения, найти:
- •VI. Непрерывная случайная величина х задана интегральной функцией
- •IX. В предположении о распределении признака по признаку Пуассона вычислить теоретические частоты, проверить согласованность теоретических и фактических частот на основе критерия Ястремского.
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Продолжение приложения 2
- •Критические точки распределения
- •Значения (распределение Пуассона)
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
IV. Повторные испытания
Схема Бернулли – последовательность испытаний, удовлетворяющих условиям:
-
число испытаний фиксировано,
-
каждое из испытаний приводит к одному из двух взаимоисключающих исходов,
-
вероятности этих исходов постоянны во всех испытаниях,
-
опыты независимы.
Пусть проведено независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться с постоянной вероятностью . Вероятность ненаступления события в каждом испытании равна : . Требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится ровно раз: .
Формула Бернулли
Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна, а число испытаний невелико , то вероятность того, что событие при независимых испытаниях появиться ровно раз, можно определить по формуле:
.
Вероятность того, что событие наступит
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Пуассона
Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала , то вероятность появления события ровно раз в испытаниях определяется по приближенной формуле
, , .
Локальная теорема Лапласа
Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна (причем не близко к 0 и 1), то вероятность того, что событие в серии из независимых испытаний (где достаточно велико) появится ровно раз, определяется по приближенной формуле:
, ,
где – функция вероятностей, – четная функция.
Значения функции находят по таблице (приложение 1). Для всех .
Интегральная теорема Лапласа
Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании не мала, то вероятность появления события в интервале от до раз определяется приближенной формулой
,
, .
Функция – нечетная. Значения функции находят по таблице (приложение 2). При .
Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна. Вероятность того, что в испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности не более, чем на , определяется приближенной формулой
.
Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытаний. Число появлений события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность появления события это число раз является наибольшей.
.
Если:
-
– целое число, то ,
-
– дробное число, то существует единственное число , равное целой части ,
-
– целое число, то существует два наивероятнейших числа, равные соответственно левой и правой части неравенства.
Пример 11. |
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность 3-х попаданий при 5-ти выстрелах. |
Решение.
По формуле Бернулли определим искомую вероятность
.
Пример 12. |
Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг. |
Решение.
По условию .
Используем формулу Пуассона.
,
.
Пример 13. |
75% всей продукции соответствует требованиям высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 150 изделий: а) 100 изделий окажется высшего сорта; б) не менее 110 изделий окажутся высшего сорта. |
Решение.
а) .
Событие – появление изделия высшего сорта.
.
По таблице (приложение 1) находим:
,
тогда
.
б) .
,
,
.
Значит
.
Пример 14. |
Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота отклониться от 0,8 не более, чем на 0,04. |
Решение.
.
.
Пример 15. |
Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Сколько необходимо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что частость отклониться от вероятности не более, чем на 0,02. |
Решение.
.
, ,
по таблице ,
, , .